iT邦幫忙

2

IQ益智題- 我告訴他「我不知道」,然後他就知道了之系列題<三> #分別給兩個學生兩整數的積與和,猜數字

嗨嗨,大家好,
繼上次兩道簡單的熱身題-
IQ益智題- 我告訴他「我不知道」,然後他就知道了之系列題<一> (熱身題)
IQ益智題- 我告訴他「我不知道」,然後他就知道了之系列題<二>

今天這道問題可說是相當挑戰啦~
更多IQ益智題,返回主頁- 系列篇章統整: 程式人也想的趣味數學及益智謎題

我早就知道你不知道

S和P是兩位邏輯推理能力特強的學生,
今天老師告訴S, P兩個人 1<x<yx+y<=65
然後老師給S看「x+y」的數字,
給P看「x*y」的數字。

並告訴兩人給S看的是兩數相加的結果,
給P看的是兩數相乘的結果
然後有了以下一段對話:

P: 我不知道x,y
S: 我本來就知道你不知道
P: 那我知道了
S: 那我也知道了

請問: 所有可能的x,y是多少?

推理線索

由於本題難度很高,
放一些線索供大家方便思考,
P不知道x, y其實是蠻正常的事情,
因為老師給P看大部分的數字,
P都不會知道x,y是多少,
除非這個數字只有唯一一種乘法分解

譬如說P看到8好了,
8只能分解為2 * 4(1 * 8不行,因為1<x<y),那P就會知道x,y就是2, 4
大部分的狀況,譬如說P看到12,12可能分解成2 * 63 * 4,P就不會知道x,y的值

關鍵在第二句話

但是S要事先就確定「P不知道 x,y 」,
這件事是很難的,
因為S要百分之百確定,才可以宣稱「早就知道P不知道」,
譬如說S看到的數字是「16」,16可以分解成2 + 143 + 134 + 14、…相當多種可能,
要每一種可能所對應到的乘積,P都無法知道,S才能夠宣稱「早就知道P不知道」。

譬如說16可以分解成3 + 13,表示x,y有可能是3, 13,在這種情況下,
P看到的數字就是3 * 13 = 39,然而39只有一種乘法分解,
S便不敢這樣宣稱

更進一步地,S拿到的數字如果可以分解為兩個質數之和,
因為兩個質數的乘積的乘法分解唯一
那麼就無法確定「P不知道 x,y」

由此可以推論 => S不可能看到偶數
因為數學上有一個著名的猜想說「任何大於2的偶數,都可以分解為兩個質數之和」(哥德巴赫猜想),
因此偶數的情形都無法確定「P不知道 x,y」

再逐一檢查剩下的奇數,S的可能性也剩餘不多

最後再思考第三、四句話: P, S是怎麼知道的?
(這應該是目前IQ益智題系列最難的一題吧,大家加油)

如覺得題意不清也歡迎發問,
歡迎邏輯愛好者一同留言討論~


2 則留言

1
chenglo
iT邦新手 5 級 ‧ 2020-05-20 09:30:01

我的想法~

第一步:

由於 S 看到的不是偶數,所以 x, y 之中一個是奇數,一個是偶數
又 S 看到的這個 x + y 不能拆成兩個質數的和,第一步先來刪掉一些不合的 x + y
唯一的偶數質數是 2,所以可以從小於等於 65 的奇數中,刪掉 2 + 質數
(刪掉 2 + 3, 2 + 5, 2 + 7, 2 + 9, 2 + 11, 2 + 13, 2 + 17, ... )
第一步結束後,可能的 x + y 如下
11, 17, 23, 27, 29,
35, 37, 41, 47, 51,
53, 57, 59, 65

第二步:

從 P 的角度來看,

P 在 S 說:我本來就知道你不知道 後,就說知道了
先從 x + y = 11 來感覺一下

x + y = 11 x * y x * y 可以拆成 S 說後,P 就知道了,刪掉提示說的
2 + 9 18 2x9 3x6 2x9 3x6
3 + 8 24 2x12 3x8 4x6 2x12 3x8 4x6
4 + 7 28 2x14 4x7 2x14 4x7
5 + 6 30 2x15 3x10 5x6 2x15 3x10 5x6

例.
如果 x, y 是 2, 9,在第二句話結束後,P 還是無法確定 x * y 應該拆成 2 x 9 還是 3 x 6

如果 x, y 是 3, 8,在第二句話結束後,P 可以刪掉 2 x 124 x 6,因為 2 + 12 = 14 = 3 + 114 + 6 = 10 = 3 + 7,就是在提示中說的 S 無法肯定地說 我本來就知道你不知道

感覺是 x * y 要是 2 的 n 次方 * 一個質數 的長相,拆的時候就是分成 (2 的 n 次方) * (一個質數)。在這個情況下,其他組合都會因為 第一、二句話的結論砍掉。

所以就是把第一步 x + y 那些可能的數字,分別減掉 2、4、8、16 ... (就是 x, y 中其中一個數),如果差是質數 (x, y 中的另一個),那這就是一組解

第三步

綜合以上

x = 4, 8, 16 or 32 (2 可以不用測,在第一步就刪掉 2 + 質數 了)
y 是質數
x + y 在第一步那些數字裡面

x + y = 11
8 3
4 7

x + y = 17
4 13

x + y = 23
4 19
16 7

x + y = 27
4 23
8 19
16 11

x + y = 29
16 13

x + y = 35
4 31
16 19

x + y = 37
8 29
32 5

...

以此類推

嗨嗨~ x,y是4和13那組答案是對的(但應該是唯一解),
這邊其實有一些陷阱,例如說第一步,
S能夠說出「早就知道P不知道」的數字應該只有「11, 17, 23, 27, 29,35, 37」

解釋一下為什麼41不行,
比如說41 = 4 + 37
你會覺得說4 * 37不是還可以分解成2 * 74嗎?
但是因為老師告訴兩個人x+y<=65
如果分解成2 * 74的話,2 + 74就超過65了,

所以並不是P一定看到兩個質數相乘的結果才知道x,y,
在看到148 ( = 4 * 37) 同樣也只有一種唯一分解,
同理可以排除S不會是「47, 51, 53, 57, 59, 65」,
可自行驗證看看

不過邏輯上大致上是對的,
但最後需考慮「S也知道了」的那句話,
比如說S不可能是11,
因為如果S是11的話,
有可能是3 + 84 + 7兩種可能,
(對應到P看到的數字是3 * 84 * 7),
這兩種情況P都可以推理出正確的x, y,
這時S無法便無法確定是哪一種分解

1
通靈亡
iT邦新手 3 級 ‧ 2020-05-20 11:42:08

我也來玩一下好了

P:我不知道x,y

所以某數分解為x,y相乘一定有兩種以上的可能性
得知 x * y 的結果不可能為質數

S:我本來就知道你(P)不知道

因此,所有 x+y 的組合當中,x 和 y 其中一個數字一定要是和數
所以 x+y 不可能是偶數x+y 必定為 一個奇數 + 一個偶數

3 * 4=12,3 + 4= 2 + 5 => 有一組 x + y的兩個數字皆為質數,違反S的邏輯
4 * 5=20,4 + 5 = 2 + 7 => 有一組 x + y的兩個數字皆為質數,違反S的邏輯
4 * 9=36,4 + 9 = 2 + 11 => 有一組 x + y的兩個數字皆為質數,違反S的邏輯

4 * 13=52,4 + 13 = 17,所有相加=17的組合都有一個和數 => 符合S的邏輯

4 * 15=60,60=6 * 10 => x+y 是偶數,違反S的邏輯
4 * 17=68,68=2 * 34 => 違反S的邏輯
(...以下自行計算...)

P: 那我知道了

重點來了,前面老師有給P看 x * y 的結果
所以 P 已知最終 x * y = 52

但P原本不會知道x和y,是因為52= 2 * 26 或是 4 * 13
但P聽到S說自己不可能會知道,P根據S的邏輯,排除2 * 26 (2+26是偶數)
所以P知道是 4 * 13

S: 那我也知道了

前面老師有給S看 x + y 的結果
所以已知 S 知道最終 x + y = 17

當S跟P說他不會知道,P可以刪掉不合理的狀況,馬上知道確切的數字
所以P得知x * y 全部的組合,刪掉P推測不合理的組合,要剛好是1組

所以S會先看到x + y=17,做出下列推論
17 = 2 + 15 => x * y=30 => 30 = 2 * 15 = 3 * 10 = 6 * 5 => 扣掉2 * 15後,剩下2組,不成立

17 = 3 + 14 => x * y=42 => 42 = 2 * 21 = 3 * 14 => 扣掉2 * 21後,剩下2組,不成立

17 = 4 + 13 => x * y=52 => 52 = 2 * 26 = 4 * 13 => 扣掉2 * 26後,剩下1組

17 = 5 + 12 => x * y=60 => 60 = 2 * 30 = 3 * 20 = 4 * 15 = 5 * 12 = 6 * 10 => 扣掉2 * 30、4 * 15、6 * 10後,剩下2組,不成立
(...以下自行計算...)

所以最後S也知道x 和 y 分別是 4 和 13。

這個IQ益智題有一個前提沒有提到:
就是「P已知x * y =52,S已知 x + y = 17」
P和S先根據自己看到的結果,再依據這段對話的邏輯得到這些推理。

看更多先前的回應...收起先前的回應...

答對了,x和y分別是4和13/images/emoticon/emoticon42.gif/images/emoticon/emoticon42.gif

應該是說本IQ益智題的前提是「P已知x * y,S已知 x + y」,至於x * yx + y確切是多少也是讀者需推理的部分

通靈亡 iT邦新手 3 級 ‧ 2020-05-20 18:15:27 檢舉

好吧
我以為重點是P和S雙方是怎麼從對方的我知道推論出解

其實也是,要知道P和S雙方怎麼從對方的我知道推理出結果,讀者才有辦法推理出原本的x,y。之所以題目沒有把P, S兩個看到什麼數字明確寫出來,是因為如果讀者看到x*yx+y的確切結果,那麼從x*yx+y就可以直接算出x,y是多少了呀~

我要留言

立即登入留言