補數為何存在?

為了將減法以加法的形式進行實作，減少電路開銷(省去減法器)。

補數的討論

一般來說，討論補數會考慮到兩種形式，在基底(Base)為r的條件下，討論以下

1. r的補數 (r's complements)，又稱為radix complements
2. (r - 1)的補數(r - 1's complements)，又稱為diminished radix complements

舉例來說，以基底為10的數，我們會討論其10的補數和9的補數

補數的定義

定義:有一數字N，基底為r，共有n位數，則

的補數:
的補數:

觀察:的補數 = 的補數

範例1 : 有一數字135( N )，基底為10( r )，共有3( n )位數

的補數 :
的補數 :
的補數 的補數

範例2 : 有一數字，基底為，共有位數
的補數 :

>  10000000
> - 1101100
> ---------
>   0010100

的補數:

>   1111111
> - 1101100
> ---------
>   0010011

的補數 的補數

補數應用，使用補數實作出減法

範例1. 計算
由於M為五位數，N為四位數，兩位數相同才可進行運算，將N改為五位數，變成03250

1. 將3250轉換為補數的形式(使用10的補數)

原式           使用10的補數轉換後
>   72532       >   72532
> - 03250  -->  > + 96750
>  ------       > -------
>   69282       >  169282 (1為進位，將其捨去)

減掉某一個數事實上就是加上他的補數

範例2. 計算
由於M為四位數，N為五位數，兩位數相同才可進行運算，將M改為五位數，變成03250

1. 將72532轉換為補數形式(使用10的補數)

原式           使用10的補數轉換後   將計算得到的結果再做10的補數並加上負號
>   03250       >   03250         >  100000
> - 72532  -->  > + 27468    -->  > - 30718   --> 取負號 --> -69282
>  ------       > -------         > -------
>  -69282       >   30718         >   69282

範例3. 計算
1.將1000011轉換為補數形式(使用2的補數)

原式           使用2的補數轉換後
>   1010100       >   1010100
> - 1000011  -->  > + 0111101
>  --------       > ---------
>   0010001       >  10010001 (1為進位，將其捨去)

範例4. 計算
將1010100轉換為補數形式(使用2的補數)

原式           使用2的補數轉換後   將計算得到的結果再做2的補數並加上負號
>   1000011       >   1000011       >  10000000
> - 1010100  -->  > + 0101100  -->  > - 1101111   --> 取負號 --> -0010001
>  --------       > ---------       > ---------
>  -0010001       >   1101111       >   0010001

二進位有號數

為了表示一個有號數，我們將一個數字的最左邊位元做為表示符號的用途，一般來說，0表示正數，1表示負數。

範例1. 使用8 bit 二進位有號數來表示-9
9的二進位無號數形式0001001
這裡我們必須將最左邊的bit用來表示正負號，因此我們只使用7個bit來表示這個數的數值大小，而表示數值大小我們有三種方式

1. 二進位     2. 1的補數       3. 2的補數
   0001001      1110110         1110111
   
1. 有號二進位  2. 有號1的補數   3. 有號2的補數
 [1]0001001   [1]1110110     [1]1110111

通常情況我們使用2的補數來做為表示，原因為使用二進位表示法和1的補數表示法，會存在0有兩種不同的表示法，且兩者皆無法表示-8，而2的補數不存在這一些問題，因此我們使用2的補數做為表示有號數的方式。

表示範圍

對一個有n bit的二進位系統而言
無號數範圍 ~
有號數範圍 ~

以4 bit的二進位系統而言
無號數範圍 ~
有號數範圍 ~

比較2的補數和有號2的補數

我們使用有號8 bits的二進位表示法來表示-9

有號2的補數
 9 =  0001001 (只使用7個bit)
-9 = 11110111 (加上符號表示的bit)

2的補數
 9 = 00001001 (使用8個bit)
-9 = 11110111 

小結:n bits的二補數表示法 = (n - 1)bits有號二的補數表示法

加法與減法

1. 負數以2的補數法來表示
2. 使用加法進行運算
3. 產生進位時，省略
4. 產生結果為負時，會自動轉換為2的補數

範例1.

十進位   7 bits二進位  有號2的補數
  6      0000110      0_0000110
 13      0001101      0_0001101 
-13                   1_1110011(取13對2的補數後加上符號)

------------------------------------------------------

>     6   有號2的補數  >   00000110
> +(-13)  -------->   > + 11110011
> ------              > ----------
>    -7               >   11111001
>                         ^
>                       負數符號 後方7bit為7的2的補數

溢位(Overflow)

假設一個8 bit系統的有號二補數的加法

>   65    >   01000001
> + 70    > + 01000110
> ----    > ----------
>  135    >   10000111

加完之後我們會發現值變成負的，這是因為8 bit二埔數系統表示的值範圍在-128 ~ 127，而65 + 70 = 135，這個值超出了表示範圍，因此出現錯誤的結果，這樣的現象稱為溢位。

BCD(Binary Coded Decimal)

使用一組4 bit來表示十進位0 ~ 9。

範例 1:

好處:快速將十進位轉換到二進位，有些無法以二進位有限位數表示的小數，如0.2，使用BCD可以非常簡便的表示出來
壞處:浪費記憶體空間，本來4 bit可以表示成16種組合，現在只能表示成10種組合