這次的基礎教學我們要介紹貝茲曲線，這是一種用數學函數所描述的曲線形式，廣泛應用到計算機圖學以及字型設計上，他好處是可以藉由少少的座標點來精確描述複雜的曲線圖形。

貝茲曲線繪製原理

我們要如何使用少少的幾個點來繪製一個貝茲曲線呢？

我們以畫布上任意標記四個座標點為例，貝茲曲線是用下面的方法畫出來的：

接下來我們一步步解釋這個方法的原理，貝茲曲線上的每一個點，都可以標記為 0~1 之間的某一個數字：

貝茲曲線就是根據畫布上給定的座標點，用某種方式標記出 0-1 這個區間每個實數對應在畫布上的某個點位置，將這些點全部連接，就會得到貝茲曲線。

用一個範例來解釋這個標記位置的方法，給定一個 0-1 區間的實數 0.3，根據剛剛給定的四個座標點 (50, 300)、(150, 100)、(250, 300)、(350, 50)：

1. 先用將這四個座標點按照順序連接起來，得到三條灰色線段：

2. 然後在這三條灰色線段上，標記出線段長度為全長 0.3 的點位置，然後再按照順序將這些點連接起來，得到兩條藍色線段：

3. 然後在這兩條藍色線段上，標記出線段長度為全長 0.3 的點位置，然後再按照順序將這些點連接起來，得到一條粉紅色線段：

4. 然後在這一條粉紅色線段上，標記出線段長度為全長 0.3 的點位置，得到一個綠色點點，這個點就是貝茲曲線對應於實數 0.3 的繪製點：

不管最初給定的座標點有多少個，我們可以持續用這種標記點位置、連接線段的方式，得到某個實數對應的曲線繪製點。

五個座標點的範例：

六個座標點的範例：

貝茲曲線數學形式

同時貝茲曲線也能直接被數學公式表述，這裡也介紹一下貝茲曲線的數學形式，給對數學有興趣的讀者看。

• 一階貝茲曲線（直線）

一階貝茲曲線就是在兩個點之間的直線段。公式如下：

• 二階貝茲曲線（拋物線）

二階貝茲曲線通過三個控制點定義。公式如下：

• 三階貝茲曲線（常用）

三階貝茲曲線是最常用的貝茲曲線，由四個控制點定義。公式如下：

貝茲曲線語法

在 p5.js 中，描述貝茲曲線的函數如下：

bezier(x1, y1, x2, y2, x3, y3, x4, y4)

bezier 限定就是接收八個參數，也就是四個控制點的貝茲曲線，以下是繪製貝茲曲線的程式範例：

let point_list;
function setup() {
    frameRate(20);
    createCanvas(400, 400);
    background(255);

    point_list = [
        [50, 300],
        [150, 100],
        [250, 300],
        [350, 50],
    ];
}

function draw_base () {
    fill(0);
    stroke(200);

    let prev_point;
    point_list.forEach((point, index) => {
        ellipse(point[0], point[1], 10, 10);
        textSize(12);
        textAlign(CENTER, CENTER);
        text(`(${point[0]}, ${point[1]})`, point[0], point[1] + 15 * (1 - 2 * (index%2)));
        if (index > 0) {
            line(prev_point[0], prev_point[1], point[0], point[1]);
        }
        prev_point = point;
    });
}

function draw() {
    background(255);
    draw_base();

    noFill();
    stroke("#FF3E3E");
    strokeWeight(2);
    bezier(
        point_list[0][0],
        point_list[0][1],
        point_list[1][0],
        point_list[1][1],
        point_list[2][0],
        point_list[2][1],
        point_list[3][0],
        point_list[3][1]
    );

    noLoop();
}

然後還要提到另一個函數 bezierPoint：

bezierPoint(a, b, c, d, t)

相對於 bezier 用來繪製貝茲曲線，bezierPoint 用來取得 0-1 之間的實數 t 所對應的貝茲曲線描點，只是以單一座標為主，因此若要取得描點座標 (result_x, result_y)，必須呼叫兩次 bezierPoint：

let result_x = bezierPoint(x1, x2, x3, x4, t);
let result_y = bezierPoint(y1, y2, y3, y4, t);

以下是程式範例：

let point_list;
function setup() {
    frameRate(20);
    createCanvas(400, 400);
    background(255);

    point_list = [
        [50, 300],
        [150, 100],
        [250, 300],
        [350, 50],
    ];
}

function draw_base () {
    fill(0);
    stroke(200);

    let prev_point;
    point_list.forEach((point, index) => {
        ellipse(point[0], point[1], 10, 10);
        textSize(12);
        textAlign(CENTER, CENTER);
        text(`(${point[0]}, ${point[1]})`, point[0], point[1] + 15 * (1 - 2 * (index%2)));
        if (index > 0) {
            line(prev_point[0], prev_point[1], point[0], point[1]);
        }
        prev_point = point;
    });
}

function draw() {
    background(255);
    draw_base();

    noFill();
    stroke("#FF3E3E");
    strokeWeight(2);
    bezier(
        point_list[0][0],
        point_list[0][1],
        point_list[1][0],
        point_list[1][1],
        point_list[2][0],
        point_list[2][1],
        point_list[3][0],
        point_list[3][1]
    );
    fill("#FF3E3E");
    noStroke();
    [0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9].forEach(t => {
        let x = bezierPoint(
            point_list[0][0],
            point_list[1][0],
            point_list[2][0],
            point_list[3][0],
            t
        );
        let y = bezierPoint(
            point_list[0][1],
            point_list[1][1],
            point_list[2][1],
            point_list[3][1],
            t
        );
        ellipse(x, y, 8, 8);
        textSize(12);
        textAlign(CENTER, CENTER);
        text(t.toFixed(1), x, y - 15);
    });

    noLoop();
}

那如果是非四個控制點的貝茲曲線要怎麼畫呢？那就必須用程式自己計算出軌跡了，以下給出五個控制點的範例：

let point_list;
function setup() {
    frameRate(20);
    createCanvas(400, 400);
    background(255);

    point_list = [
        [50, 300],
        [150, 100],
        [250, 300],
        [380, 200],
        [350, 50],
    ];
}

function draw_base () {
    fill(0);
    stroke(200);

    let prev_point;
    point_list.forEach((point, index) => {
        ellipse(point[0], point[1], 10, 10);
        textSize(12);
        textAlign(CENTER, CENTER);
        text(`(${point[0]}, ${point[1]})`, point[0], point[1] + 15 * (1 - 2 * (index%2)));
        if (index > 0) {
            line(prev_point[0], prev_point[1], point[0], point[1]);
        }
        prev_point = point;
    });
}

function get_bezier_point(t) {
    let iter_count = 0;
    let now_list = point_list;
    let next_list = [];

    while (now_list.length > 1) {
        let prev_point;
        now_list.forEach((point, index) => {
            if (index > 0) {
                let inter_point = [
                    map(t, 0, 1, prev_point[0], point[0]),
                    map(t, 0, 1, prev_point[1], point[1])
                ];
                next_list.push(inter_point);
            }
            prev_point = point;
        });
        now_list = next_list;
        next_list = [];
        iter_count += 1;
    }
    return now_list[0];
}

function draw() {
    background(255);
    draw_base();

    noFill();
    stroke("#FF3E3E");
    strokeWeight(2);
    beginShape();
    for (let t = 0; t <= 1; t += 0.01) {
        let [x, y] = get_bezier_point(t);
        vertex(x, y);
    }
    endShape();

    noLoop();
}

範例中自定義函數 get_bezier_point ，給定 0-1 之間的實數計算出對應的貝茲曲線點位置，然後用之前講過的 vertex 函數畫出軌跡，因為牽涉到遞迴概念有一點困難，讀者可以慢慢理解體會。