1. Scheme 規格書說了什麼

Racket 的數值系統，核心架構仍然是以 Scheme 的為基礎。在 Scheme 的規格書 [1] 裡頭，列舉了以下的數值類型，其範圍由上到下限縮：

1. number (數值)
2. complex (複數)
3. real (實數)
4. rational (有理數)
5. integer (整數)

最上方的 number 是最廣的，以集合論來說，就是下面四項的宇集。因此，你在任何地方，問 Racket 一個數字是否是 number 時，一定會得到 true，不管它是什麼樣的數字。

接下來，可以說是這門從學術界發展出來的語言的特色：可以直接進行複數操作，不必透過特殊的函式庫。

複數以降，就是實數，數學上來看，這範圍包含有理數與無理數，或正數與負數。無理數就是無法算至小數點下某一位開始循環的數字，例如圓周率、黃金分割、根號 2。有理數就是會在某一位小數開始循環，並能轉成分數的數字。因此，實數可以是無理數、複數、有理數、正數。

實數之下便是有理數，在 Racket 裡的有理數，真的就是分數，不信的話，你可以執行看看：

(/ 1 3)

最後，是整數，整數包含了正整數與負整數

2. Racket 的精準度

我們來試著算算看圓面積，用 高解析度圓周率，取到小數點以下 25 位數（到第三行），然後用半徑為 5 來算圓周看看：

(define pi 3.1415926535897932384626433)
(* 5 5 pi)

最後運算產生結果時，理論上來說，至少應該要到小數點以下 25 位，但你會看到小數位數在某個地方就停了：

78.53981633974483

這是因為，在電腦裡面，浮點數小數位數會因為實作機制可容許的數值空間有限，使得小數位數無法想到幾位就到幾位。不管是在 Racket、Scheme、Lisp、Python、Java 都會如此。

然而，在 Racket/Scheme 裡頭，有一種特殊的數值型態，稱為 exact，這不是說在上述的數值類別之外還有一個類別，它是一種精確度表示法，相反地，也有個 inexact。exact 可以用以下方式來呈現：

;; 用 #e 來表示 exact：
(define pi #e3.1415926535897932384626433)
(* 5 5 pi)

改寫了這程式，重新運行後，你會發現結果變成如下：

   215926535897932384626433
78 ------------------------
   400000000000000000000000

Racket 會以有理數來呈現計算結果，若直接印出 pi 的話，會是這樣的值：

> pi
   1415926535897932384626433
3 -------------------------- 
  10000000000000000000000000

換句話說，它會把你給它不論多少位數的小數，完整地用有理數保存下來，好使你在計算時，可以精準到你要的程度。那另一個角度來說，inexact 就不是如此，它是 Racket 裡頭浮點數的預設操作與表示方式（雖然也可以用 #i 的方式來指定）。inexact 的操作就像原本的圓面積計算一樣，不會精準到你給的小數位數。

3. 0.1 + 0.2 檢查你是不是機器人

這張圖它在表示只有機器人能答對這個問題：0.1 + 0.2，你可以在 Racket 裡試試：

(+ 0.1 0.2)

為何若用 inexact 無法進行精準的小數點處理呢？甚至 0.1 + 0.2 這個值沒辦法得到一個正確的結果呢？這是計算機概論書本一定會談到的電腦浮點運算所使用的 IEEE 754 系統 [2]，簡單來說，因為電腦是用二進位資料進行數值資料儲存，在從十進位轉換到二進位時，會產生無法完整轉換的問題。因此在進行 0.1 + 0.2 時，會發生從二進位轉十進位的精確度誤差。

這時候，你可以想見，或許用上方的 exact 型態來處理就可以了：

(+ #e0.1 #e0.2)

是的，雖然這可以算出正確值，還是必須說明：這是用計算效能得來的結果。inexact 的計算只需要透過底層原有的計算機制來進行，而exact 的計算卻需要對數值進行一層包裝，好使得數值不會受到小數位數與整數位數的影響。這當然就需要相當的效能作為代價。 然而，我們在這不完美的世界解決各項問題，本來就需要針對不同的處境權衡解決之道。

4. 豐富的數值系統

除了以上談到的常用數值型態，Racket 像 Python、Ruby 之類的語言，支援了無限長度的整數位數，例如你可以把 pi 的小數點拿掉：

(define pi 31415926535897932384626433)
(* 5 5 pi)

這樣仍然可以得到一個正確的結果，這是因為一旦整數位數超過了平台提供的長度，它會自動轉為 bignum 型態，這點倒是不用像 exact 與 inexact 那樣用外在的字面方式來區別。

回到前頭，Racket 也支援複數運算，複數的表示用 i，如下：

(* 1+1i 2+2i)