這需要設定一個 reverse proxy ，去取得 www.design.com/abccompany 提供到 www.abccompany.com 來顯示，另外有可能會需要去修改網頁內容，因為連結有可能是像 /abccompany/page ，我個人推薦你試看看 Cloudflare worker ，以上單純回答你技術方面的問題

但是你都找設計公司了，為什麼不請他們處理，就算他們的網頁可能設計一定要放在子目錄下好了，但掛在他們的域名下不管怎麼說都是件很奇怪的事

首先，一般的設計公司給你的網址。
大多是先暫時性的網址給你。

理論上來說，當完成後，還需要請他們(如果合約上有包含安裝的話)
或是自行將對應的程式碼放到您公司的機器上才行。

這其中還包含您的域名、DNS的變動可能性。

由於你的說明，有太多不確定因素在。所以我也無法跟你好好的說明。
因為或許你找的是現成套裝網站。無法提供程式碼給你的那種。
就只能線上更新上傳。(例 wix 這種的)

大多數這一類性質的。還是會有提供域名對應的功能給你。
少部份不行的。就只能利用PROXY的方式來處理了。(但有一定的失敗因素存在)

免費網址

每個網站空間都有一個專屬的網址，可以使用付費網址（www.myweb.com.tw）或使用免費網址（www.demo.url.tw）

類似這家的方案

可以直接詢問你說的 www.design.com (應該也是假名稱) 這家公司怎麼處理就可以了。

例如 智邦生活館 也有提供類似的網頁服務，他們的一台網頁主機，一個 外部 IP 對應到非常多的客戶自己的 Domain Name ， 當然它也有提供類似你說的 HTTPS://www.design.com/abccompany 這個是真實的路徑，然後你要到他的管理介面 把你們的 abccompany.com 登記上去，
他會給你一組外部 IP ，你可以先在本機電腦的 hosts 檔案內，添加這一組 IP / domain Name 對映，就可以先測試一下在新的網頁主機看起來的效果 ( 瀏覽器直接使用 www.abccompany.com )

最後確認新網頁主機都已經更改設計完成，就到你們的 領域名稱註冊公司， 將 abccompany.com 對應的 IP 直接改為 新的網頁主機代管公司就完成了。

詳細的技術細節都可以直接請教網頁主機代管公司的客服。

網站驗收了嗎？廠商收了錢自然會配合移轉！

網站若一樣要放在公司內部，就依廠商的建議規格準備好一台主機或ＶＭ，請廠商在公司的環境建好新的網站，防火牆IP Mapping改到新網站主機就OK了。

若網站主機未來要託管(懶的評估就請網頁廠商推薦)，就請網頁廠商在託管的環境建好網站，您去修改DNS，指向託管廠商提供的IP