1. 從圖靈的老師談起

他是圖靈在普林斯頓時的老師，是當時一位頂尖的數學家與計算理論專家。當一個文化進入另一個時，首先需要做的是將原有的語彙翻譯過去。然而在台灣的電腦科學界，我找不到這個人名字的翻譯。他叫做 Alonzo Church，在對岸的文章中稱他為：阿隆佐，邱奇，因此，我文章以 Church 來稱呼他。

在那個時代裡，還沒有現代的電腦，那時人類還在探索用機器進行數學計算的可能性。而 Church 正是投下第一彈的人，提出了將數學函式抽象化的原則：lambda calculus。

從這時候開始，人類開始討論的不是函式怎麼算出來，而是函式的抽象變化與應用。lambda calculus 的概念也形塑了最早期的程式語言模型。

2. 來看看最有現代感的 JS

回到現代，這個時代最多人用的語言，我想應該是 JavaScript，網頁前端的人得用，有時候網站後端的人也得用。因此，我們來看兩個函式的宣告：

var square = function(n) {
    return n * n;
}

以上的函式，與以下的函式在語義上是等價的。

function square(n) {
    return n * n;
}

這件事我想應該很多人能快速理解它，藉著這個觀念，我們接下來要來看 Racket 的函式宣告：

(define square
  (lambda (n)
    (* n n)))

同樣，以上的函式與以下的函式，在語義上也是等價的：

(define (square n)
  (* n n))

Racket 的函式宣告，最基本的概念是 define 一個 lambda 給 id 的過程。因此，你若在 Chez Scheme （最好的 Scheme 實作） 的 source code 看看它裡頭使用的函式宣告，幾乎清一色是用 lambda 的宣告風格。

然而，第二種宣告方式，其實是更多人慣用的方式，用 () 將函式的名稱與參數包起來，接下來就是接函式定義的本體，不使用 lambda。我猜應該是這樣寫，打的字比較少，所以更多人愛用吧！

現在，你會了基本的函式宣告，也看到上面示範的 square 了，你試著來宣告 cube （立方）吧。

3. 回到 Scheme 規格書

很多語言其實是沒有規格書的，但 Scheme 不只有，而且言簡意賅，頁數極少。在 Scheme 規格書裡，第一章介紹整個 Scheme 語言的概覽，第一章的第一小節介紹 Scheme 的資料型態，第一小節的最後一項，介紹函式（原文稱 Procedure），他是這麼說的：

Procedures Procedures are values in Scheme. [1]

是的，在 Scheme 與 Racket 裡面，函式不是像值，函式就是值。因為它是值，在語義上，可以進行多種變化與應用。

4. 你的語言能不能這麼做

剛剛上頭，我留下一個練習，要各位寫一個 cube 的函式。我們現在來想想，怎樣在 Racket 裡頭做連加？假設我有一組連續數字：0 ~ n，我要把它連加起來，不使用公式解，使用 Functional Programming Language 標準的遞迴解，應該怎麼寫呢？

(define sum
  (lambda (n)
    (if (= n 0)
        0
        (+ n (sum (- n 1))))))

這裡引入一個過幾天會談到的 if，if 也是一個函式，它有三個關鍵點，if 後方直接接判斷式，做完判斷後，#t 的結果放接下來第一個位置，#f 的結果放接下來第二個位置。

這樣寫很蠢，沒關係，我們再看連乘怎麼寫，給定我有一個連續數字：0 到 n，求其連乘解（前提是 0! = 1）：

(define factor
  (lambda (n)
    (if (= n 0)
        1
        (* n (factor (- n 1))))))

這裡的操作，都是一樣的，連加與連乘 0 到 n，就是指 n 加上（或乘上）它子集的連加（或連乘）。

然而，FP 語言特性便是如此，你發現流程有重複嗎？有的，同樣要判斷值是否為 0，同樣要用 n 來加上（或乘上）它以下的值的函式結果。我們可不可以這樣寫：

(define num-proc
  (lambda (n init proc)
    (if (= n 0)
        init
        (proc n (num-proc (- n 1))))))

然後把 sum 與 factor 改為這樣：

(define another-sum
  (lambda (n)
    (num-proc n 0 +)))

(define another-factor
  (lambda (n)
    (num-proc n 1 *)))

在這範例裡頭，各位會看到，我們之前所用的 + 與 * 全部被當參數傳了！在 Racket 與 Scheme 裡頭，它們全都是函式！這也就是為何我們在第三天時，直接打 1 + 1 時，會出現：

1
#<procedure:+>
1

的緣故。好，最後一個變化，使用我們前面的 square 與 cube，並加上一個 identify。

(define identify
  (lambda (n) n))

(define cube
  (lambda (n)
    (* n n n)))

(define new-num-proc
  (lambda (n init proc trans)
    (if (= n 0)
        init
        (proc (trans n) (new-num-proc (- n 1))))))

(define square-sum
  (lambda (n)
    (new-num-proc n 0 + square)))

(define cube-sum
  (lambda (n)
    (new-num-proc n 0 + cube)))

(define other-sum
  (lambda (n)
    (new-num-proc n 0 + identify)))

現在，你不只可以連加，還可以連加它的平方，也可以連加它的立方。