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如何在網頁中繪製 3D 場景？從 WebGL 的基礎開始說起系列 第 10 篇

2D transform Continued

13th鐵人賽
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大家好，我是西瓜，你現在看到的是 2021 iThome 鐵人賽『如何在網頁中繪製 3D 場景？從 WebGL 的基礎開始說起』系列文章的第 10 篇文章。本系列文章從 WebGL 基本運作機制以及使用的原理開始介紹，最後建構出繪製 3D、光影效果之網頁。講完 WebGL 基本機制後，本章節講述的是 texture 以及 2D transform，如果在閱讀本文時覺得有什麼未知的東西被當成已知的，可能可以在前面的文章中找到相關的內容

上篇把原本透過 u_offset、u_resolution 來控制平移以及 clip space 投影換成只用一個矩陣來做轉換，我們實做了矩陣的相乘 (multiply)、平移 (translate) 以及縮放 (scale)，在常見的 transform 中還剩下旋轉 (rotation) 尚未實做，除此之外 lib/matrix.js 也缺乏一些常用的小工具，本篇將加上平移、縮放、旋轉之控制項，同時把這些矩陣工具補完

旋轉 transform

根據維基百科，可以知道如果原本一個向量為 (x, y)，旋轉 θ 角度後將變成 (x', y')，那麼公式為：

math-rotation-equation

同時其 tranform 矩陣為：

math-rotation-matrix

只不過我們需要的是 3x3 的矩陣，才能符合運算時的需要，多餘的維度跟單位矩陣一樣，同時記得行列轉換成電腦世界使用的慣例（假設要旋轉角度為 rad）：

[
  Math.cos(rad),  Math.sin(rad), 0,
  -Math.sin(rad), Math.cos(rad), 0,
  0,              0,             1,
]

最後實做在 lib/matrix.js:

  rotate: rad => {
    const c = Math.cos(rad), s = Math.sin(rad);
    return [
      c, s, 0,
      -s, c, 0,
      0, 0, 1,
    ]
  },

加入平移、縮放、旋轉控制

像是速度控制那樣，在 HTML 中分別給 X 軸平移、Y 軸平移、縮放、旋轉一個 range input：

<!-- <form id="controls"> -->
<!-- ... -->
  <div class="py-1">
    <label for="translate-x">TranslateX</label>
    <input
      type="range" id="translate-x" name="translate-x"
      min="-150" max="150" value="0"
    >
  </div>
  <div class="py-1">
    <label for="translate-y">TranslateY</label>
    <input
      type="range" id="translate-y" name="translate-y"
      min="-150" max="150" value="0"
    >
  </div>
  <div class="py-1">
    <label for="scale">Scale</label>
    <input
      type="range" id="scale" name="scale"
      min="0" max="10" value="1" step="0.1"
    >
  </div>
  <div class="py-1">
    <label for="rotation">Rotation</label>
    <input
      type="range" id="rotation" name="rotation"
      min="0" max="360" value="0"
    >
  </div>
<!-- </form> -->

py-1 為模仿 tailwindCSS 的 padding，因為只有這一個 CSS 所以筆者直接實做在 HTML 中：.py-1 { padding-top: 0.25rem; padding-bottom: 0.25rem; }

同時也調整一下 HTML 排版，使得右上角控制 UI 看起來像是這樣：

control-ui

接下來在 setup() 中初始化的 app.state 中加入平移、縮放、旋轉：

     state: {
       texture: 0,
       offset: [0, 0],
       direction: [Math.cos(directionDeg), Math.sin(directionDeg)], 
+      translate: [0, 0],
+      scale: 1,
+      rotation: 0,
       speed: 0.08,
     },

修改矩陣計算之前，把狀態與使用者輸入事件串好：

   controlsForm.addEventListener('input', () => {
     const formData = new FormData(controlsForm);
     app.state.texture = parseInt(formData.get('texture'));
     app.state.speed = parseFloat(formData.get('speed'));
     const formData = new FormData(controlsForm);
     app.state.texture = parseInt(formData.get('texture'));
     app.state.speed = parseFloat(formData.get('speed'));
+    app.state.translate[0] = parseFloat(formData.get('translate-x'));                                                                 
+    app.state.translate[1] = parseFloat(formData.get('translate-y'));                                                                 
+    app.state.scale = parseFloat(formData.get('scale'));
+    app.state.rotation = parseFloat(formData.get('rotation')) * Math.PI / 180;                                                        
   });

使用旋轉矩陣

在 render() 內，原本 worldMatrix 只有平移轉換 translate(...state.offset);，現在開始也要由多個矩陣相乘：

const worldMatrix = matrix3.multiply(
  matrix3.translate(...state.offset),
  matrix3.rotate(state.rotation),
);

存檔試玩看看：

rotation-origin-problem

如果我們想要用圖片正中央來旋轉而不是左上角呢？在輸入頂點位置時，左上角的點為 (0, 0):

top-left-zero

而 matrix3.rotate() 是基於原點做旋轉的，因此調整一下頂點位置，使得原點在正中間：

center-zero

   // a_position
   // ...
   gl.bufferData(
     gl.ARRAY_BUFFER,
     new Float32Array([
-      0, 0, // A
-      150, 0, // B
-      150, 150, // C
+      -75, -75, // A
+      75, -75, // B
+      75, 75, // C
  
-      0, 0, // D
-      150, 150, // E
-      0, 150, // F
+      -75, -75, // D
+      75, 75, // E
+      -75, 75, // F
     ]),
     gl.STATIC_DRAW,
   );

不過就沒辦法做完美的邊緣碰撞測試了，筆者就用原點當成碰撞測試點：

   // function startLoop(app, now = 0) {
   // ...
-  if (state.offset[0] + 150 > gl.canvas.width) {
+  if (state.offset[0] > gl.canvas.width) {
     state.direction[0] *= -1;
-    state.offset[0] = gl.canvas.width - 150;
+    state.offset[0] = gl.canvas.width;
   } else if (state.offset[0] < 0) {
     state.direction[0] *= -1;
     state.offset[0] = 0;
   }
  
-  if (state.offset[1] + 150 > gl.canvas.height) {
+  if (state.offset[1] > gl.canvas.height) {
     state.direction[1] *= -1;
-    state.offset[1] = gl.canvas.height - 150;
+    state.offset[1] = gl.canvas.height;

圖片就乖乖的以中心點旋轉了：

rotation-origin-center

其實縮放也是從原點出發的，因此這個調整也可以修正待會加入縮放時變成從左上角縮放的問題。筆者學到矩陣 transform 時，似乎就可以感受到 WebGL 的世界為什麼很多東西都是以 -1 ~ +1 作為範圍...這樣使得原點在正中間，可能在硬體或是 driver 層也更方便使用矩陣做 transform 運算吧

所有 Tranform 我全都要

現在 worldMatrix 由 matrix3.translate() 與 matrix3.rotate() 相乘而成，要串上使用者控制的 state.translate, state.scale，假設 worldMatrix 要用下面的算式計算而成：

translate(...state.offset) *
  rotate(state.rotation) *
  scale(state.scale, state.scale) *
  translate(...state.translate)

以現成的 matrix3.multiply() 來看會變成這樣：

  const worldMatrix = matrix3.multiply(
    matrix3.multiply(
      matrix3.multiply(
        matrix3.translate(...state.offset),
        matrix3.rotate(state.rotation),
      ),
      matrix3.scale(state.scale, state.scale),
    ),
    matrix3.translate(...state.translate),
  );

顯然可讀性已經大幅下降，換行有波動拳的樣子，沒換行更慘，之後也會有許多超過兩個矩陣依序相乘的狀況，因此修改 lib/matrix.js 的 matrix3.multiply() 使之可以接收超過兩個矩陣，並遞迴依序做相乘：

  multiply: (a, b, ...rest) => {
    const multiplication = [
      a[0]*b[0] + a[3]*b[1] + a[6]*b[2], /**/ a[1]*b[0] + a[4]*b[1] + a[7]*b[2], /**/ a[2]*b[0] + a[5]*b[1] + a[8]*b[2],
      a[0]*b[3] + a[3]*b[4] + a[6]*b[5], /**/ a[1]*b[3] + a[4]*b[4] + a[7]*b[5], /**/ a[2]*b[3] + a[5]*b[4] + a[8]*b[5],
      a[0]*b[6] + a[3]*b[7] + a[6]*b[8], /**/ a[1]*b[6] + a[4]*b[7] + a[7]*b[8], /**/ a[2]*b[6] + a[5]*b[7] + a[8]*b[8],
    ];

    if (rest.length === 0) return multiplication;
    return matrix3.multiply(multiplication, ...rest);
  },

...rest 的語法叫做 rest parameters，傳超過 2 個參數時再呼叫自己將這回合計算的結果繼續與剩下的矩陣做計算

回到主程式，worldMatrix 就可以用清楚的語法寫了：

const worldMatrix = matrix3.multiply(
  matrix3.translate(...state.offset),
  matrix3.rotate(state.rotation),
  matrix3.scale(state.scale, state.scale),
  matrix3.translate(...state.translate),
);

所有的控制就完成了，讀者也可以自行調整這些矩陣相乘的順序，玩玩看所謂『轉換順序』的差別

『什麼都不做』轉換

在總結 2D transform 之前，給 lib/matrix.js 再補上一個 function:

  identity: () => ([
    1, 0, 0,
    0, 1, 0,
    0, 0, 1,
  ]),

這是一個單位矩陣，如果有時候要除錯想要暫時取消一些矩陣的轉換效果，但是不想修改程式結構：

const worldMatrix = matrix3.multiply(
  matrix3.translate(...state.offset),
  matrix3.rotate(state.rotation), // 想要暫時取消這行
);

其中一個暫時取消的方式是利用單位矩陣的特性：與其相乘不會改變任何東西，像是這樣：

const worldMatrix = matrix3.multiply(
  matrix3.translate(...state.offset),
  matrix3.identity(),
  // matrix3.rotate(state.rotation), // 想要暫時取消這行
);

為了驗證，回到主程式修改 worldMatrix 的計算：

const worldMatrix = matrix3.multiply(
  matrix3.identity(),
  matrix3.translate(...state.offset),
  matrix3.rotate(state.rotation),
  matrix3.scale(state.scale, state.scale),
  matrix3.translate(...state.translate),
);

不論 matrix3.identity() 放在哪個位置，都不會改變結果；上述用途只是其中一個舉例，之後可能會因為兩個物件共用同一個 shader，但是其中一個物件不需要特定轉換，那麼也會傳入單位矩陣來『什麼都不做』

本篇的完整程式碼可以在這邊找到：

Texture & 2D Transform 就到這邊，筆者學習到此的時候深刻感受到線性代數的威力，輸入的矩陣與理論結合扎實地反應在螢幕上，並為接下來 3D transform 打好基礎，下個章節將進入 3D，開始嘗試渲染現實世界所看到的樣子


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