在前兩天的介紹裡，我們說明了協同過濾法的作法，這種做法雖然直覺簡單，但無論是 UserCF 或 ItemCF 它[ 都要維護一個很大的評分表，並且這個評分表是個稀疏矩陣。

要在這麼大的矩陣做相似性的計算，最後預測評分，這在效能和記憶體都是一大考驗，要怎麼改善這一點呢？

我們可以這樣想：無論它是一個多大的矩陣，它都可以拆成 2 個矩陣相乘。

假設R為評分表矩陣，且我們可以找到U矩陣及I矩陣人使得 R = U x I
那麼要是 R 為 m x n 維，那 U 為 m x k 維，I 為 k x n 維。這時若我們要R 的內容，我們根本不需要R，我們只需要拿U的部份資料和 I 的部份資料做計算，就可以拿到了。這樣馬上可以省下不少空間。

剩下來的問題就是 U 和 I 要怎麼找到。我們要找矩陣的分解，通常有 3 種找法：

1. 特徵值分解
2. 奇異值分解
3. 梯度下降法

這3種的適用性，分別討論如下：

1. 因為特徵值分解，只能用於方陣，所以不合適用在這個地方 。
2. 若用奇異值分解，又由於 R這個評分表是一個又大又非常稀疏的矩陣，因此奇異值分解計算量非常大，這在推薦系統裡又不適用。
3. 做矩陣分法法時，都會以梯下降法為主。用此法找到 U’ 和 I’，使得 U’ X I’ 為最接近 R 。