我想用JSON來處理這兩筆資料

JSON就是你的資料啊....
應該說用JS處理吧..

(我有想過用response.split的方式，但不管我怎麼割都不是我想要的結果)

這句話看得出來你不懂JSON的構成
JSON資料格式就只是物件和陣列的組成
不過你給的例子比較像給你一個JSON字串
所以要用JSON.parse()轉成JSON物件才行

var data = JSON.parse('{ "result": "OK", "Weather": "Failure" }');
alert(data.result);

那個，你有說用到ajax。
是否可以了解一下你的ajax是用jquery還是自已寫的。

如果是jquery的話。本身ajax就可以宣告回傳值是json格式還是文字格式。不需要再用JSON.parse的方式轉換才對。
JSON.parse是要給字串組合後。轉換為json物件使用的。

要用對方式來處理。不要用補破網的方式。

$.ajax({
type: "POST",
url: window.location.protocol + "//" + window.location.host + "/api/Web/DataSetting",
data: jsondata,
dataType: "json",
contentType: "application/json; charset=utf-8",
success: function (result) {

--------------------------------------------------------------

if (result.result == OK) {
    alert(result.Weather);
  } else {
    alert(result.Weather);
  }
  
  -------------------------------------------------------------
}, error: function () {
}

}).done(function () {
return false;
});