如果我沒有理解錯，你可以去了解一下Vue.js是如何做到資料驅動的。
你這項bug在Vue3.0中應該是不會遇到的!
當然，如果你不想在Vue2遇到這個問題可以使用Vue.set就好，詳見官方api
資料驅動的關鍵字:defineProperty,Proxy
你也可以參考:點我點我!

codepen 上的程式看起來沒有 bug
可以把 this 印出來看看

click(item) {
    this.beChooseItem = item.name;
    console.log(this)
}

綁定成功的屬性必須要有 getter/setter
如下圖第二個框框內的 table
而 beChooseItem 只有一般的屬性，並沒有 getter/setter

created 其實只是設定了一般屬性
想要在 data 以外綁定屬性
需要使用 Peter學程式 大提到的 Vue.set

可以參考文件: https://cn.vuejs.org/v2/guide/reactivity.html#%E5%AF%B9%E4%BA%8E%E5%AF%B9%E8%B1%A1

大大的問題應該是 v-for 的問題。

當 button clicked 的時候，每個 v-for 裡面的資料沒被修改，因此不會觸發 Vue re-render 畫面 (點我看更多 XD)。

驗證如下：

  // 略
  methods: {
    click(item) {
      this.beChooseItem = item.name;
      
      // item 的資料有變動，Vue 才會 re-render，class property 也才會重新被計算
      item.name = undefined;
      item.name = this.beChooseItem;
    }
  }