今天，跟室友一早7點多就爬起來了，而且又是我在大學的第一堂課，所以也趕在上課時間前20分鐘就到達了教室，第一節不免俗的就先開始介紹課程還有配分考試等等，而我們也在今天正式上課了~
　　[筆記開始]

微積分在資工的應用

• 神經網路
• 機器學習
• 機器人學習
• 語音處理
• 影像壓縮
• 電子電路
• 電磁波與通訊

chap 1 Functions & Limits

1.1 Four ways to represent a function (表達函數的四種方式)

函數f是一個規則，它在集合D中精確地分配給每個元素X一個元素，在集合E中稱為f（x）

四種表示方式

1. verbally (文字敘述)
2. numerically (數字敘述，如用表列其通過之點座標)
3. visually (視覺描述，如用圖形)
4. algebraically (代數描述，即用公式表示)

Symmetry (函數對稱性)

even function (偶函數): f(-x)=f(x) for all x in doamin (對Y軸對稱)
odd function (奇函數): f(-x)=-f(x) for all x in doamin (對原點對稱)

1.2 A catalog of essential functions

一些數學函數模型

• Linear models (線性模型)

$$
y=mx+b
$$

• Polynomials (多項式)

$$
P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0
$$

• Power functions (冪函數)

$$
f(x) = x^a
$$

• Rational functions (有理函數)

$$
f(x) = {p(x) \over q(x)}
$$

$$
Domain = { x | Q(x) \neq 0}
$$

• Algebraic functions (代數函數)
  將四則運算及根號應用在多項式所得之函數
  e.g.
  $$
  f(x)= \sqrt{x^2+1} , g(x)={ x^4-16x^2 \over x + \sqrt {x} } + (x-2) \sqrt[3] {x+1}
  $$

• Trigonometic finctions (三角函數)

• Exponential functions & Logarithm (指數與對數函數)
  Exponential functions:
  $$
  f(x)=a^x,其中a為大於0之常數
  $$
  Logarithm functions:
  $$
  f(x)=log_ax=x^a,其中a為大於0之常數
  $$

1.3 New Functions from Old Functions

Transformations of Functions (函數之變形)

• Translations (平移) C>0

往上移C
$$
y=f(x)+c
$$

往下移C
$$
y=f(x)-c
$$

往左移C
$$
y=f(x+c)
$$

往右移C
$$
y=f(x-c)
$$

1.4 The Tangent and Velocity Problem

$$
y=S(t) 在 t=t_o 時切線速率 \quad = \quad t_o時之瞬間速度
$$

1.5 The Limit of a Function (函數的極限)

• Intuitive Definition of a Limit 極限之直觀"定義"(非嚴格定義)

  • 當x極靠近a但不等於a時，f(x)所接近之值
  • 符號計為$$\lim_{x \to a}f(x)$$

• Note:
  $$
  \lim_{x\to a}f(x)之值只與x接近a但不為a之f(x)值有關
  $$

• One-Sided Limit 單邊極限之直觀"定義"(非嚴格定義)

  • 右極限:為x極靠近a但大於a時，f(x)所接近之值
    $$\lim_{x\to {a+}}f(x)$$
  • 左極限:為x極靠近a但小於a時，f(x)所接近之值
    $$\lim_{x\to {a-}}f(x)$$

• 與∞有關之極現

  1. infinte limit (無窮極限)
     $$\lim_{x\to a}f(x)=\pm \infty$$
  2. limits at infinity (在無窮之極限)
     $$\lim_{x\to {\pm \infty}}f(x)=L$$
  3. infinte limit at infinity
     $$\lim_{x\to {\pm \infty}}f(x)=\pm \infty$$