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DAY 1
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Software Development

微自幹的作業系統輕旅行系列 第 5

透過數位邏輯電路學習 Bitwise 操作

本文目標

  • 學習基礎的數位邏輯概念
  • 認識撰寫系統軟體常用的 Bitwise 技巧
  • 位移操作
  • 認識多工器

關於 CPU 的設計要點,我們可以透過維基百科略知一二:

處理器設計關注:

  • 數據路徑 (如ALU 和 計算管道)
  • 控制單元:邏輯控制的數據路徑
  • 記憶體元件,如暫存器文件緩存
  • 時脈電路,如時脈驅動器,PLL,時鐘分配網絡
  • 墊收發器電路
  • 邏輯閘電路的實現
    -- wikipedia

本篇文章要從邏輯閘做為起點,一路探討到 C 語言上的 Bitwise 操作。

邏輯閘

NOT

NOT gate

  • 功能

NOT gate 可以做到反相的用途,也就是把 1 變成 0 、 0 變成 1。

  • CMOS 電路

CMOS 已經被廣泛應用在積體電路上,下圖是使用 PMOS + NMOS 組合而成的 NOT gate 電路。

關於積體電路,可以在這邊參考更多。

CMOS Circuit

if A = Vdd :
    PMOS = cutoff;
    NMOS = on;
    Q = 0v;
if A = 0v :
    PMOS = on;
    NMOS = cutoff;
    Q = Vdd;

說來慚愧,前陣子去面試交大資工實務組時,性向測驗有考到畫出 CMOS 的剖面圖,我竟然連這麼簡單的問題都答不清楚,有愧於我是電子工程系出來的學生阿 QAQ

  • 真值表
Input Output
0 1
1 0

OR

OR gate

  • 功能

簡單來說,OR gate 的功能就是檢查輸入是否有 1 ;如果有,就輸出 1,否則為 0。

  • 真值表
Input 1 Input 2 Output
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

AND

AND gate

  • 功能

AND Gate 就是邏輯上的兩者相乘,輸入都是 1 時,輸出才是 1。

  • 真值表
Input 1 Input 2 Output
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

XOR

XOR gate

  • 功能

XOR Gate 中文為互斥或閘,筆者自己的理解是:
檢查輸入是否相異,如果相異,輸出為 1,否則為 0。

  • 真值表
Input 1 Input 2 Output
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0

本篇接續上一篇繼續介紹 Bitwise移位以及布林函數

Bitwise 基本操作

前一篇文章我們已經介紹了基本的邏輯閘,本篇要介紹的是 Bitwise 操作。
至於為什麼要將數位邏輯電路以及 Bitwise 一併介紹則是因為 Bitwise 操作與常用邏輯閘所做到的功能是一樣的。

NOT

在 C 語言中(或是其他語言)以 ~ 表示反向。

int x = 1;
int y = ~x;// 0

AND

在 C 語言中(或是其他語言)以 & 表示及運算。

int x = 1;
int y = ~x;// 0
int z = x & y;// 0

OR

在 C 語言中(或是其他語言)以 | 表示或運算。

int x = 1;
int y = ~x;// 0
int z = x | y;// 1

XOR

在 C 語言中(或是其他語言)以 ^ 表示互斥或運算。

int x = 1;
int y = ~x;// 0
int z = x ^ y;// 1

小試身手

介紹完 bitwise 後,我們可以利用刷題檢驗學習成效。

題目: power-of-two

解答

  1. 一行版本:
return n > 0 && (n & (n - 1)) == 0;
  • 解題思維:
    • 2 的 n 次方無法表示出負數,所以輸入值需要大於 0。
    • 參考
  1. 優化版本
bool isPowerOfTwo(int n){
    if(n == 1) return true;
    if(n & 1) return false;
    return n > 0 && (n & (n - 1)) == 0;
}
  • 解題思維:
    • 除了 1 以外,奇數不可能為 2 的 n 次方。
      因此,我們利用 AND 運算判斷輸入值是否為奇數:
    if(n == 1) return true;
    if(n & 1) return false;
    

經過優化後,在 leetcode 上面的執行時間從 4ms 下降至 0ms,順利達到速度最佳化的目標。

移位

移位是一個二元運算子,能夠將一個二進位數中的每一位全部都向一個方向移動指定位(溢位的部分會被捨棄),而空缺的部分補 0。
在 C 語言中,左移使用 << 表示,右移則使用 >> 表示。

邏輯左移

捨棄高位,低位補 0。

   0001(十進制 1 )
<<     (左移 1 位)
 = 0010(十進制 2 )
  0001(十進制 1 )
<<4    (左移 4 位)
= 0000(十進制 0 ) -> overflow

邏輯右移

捨棄低位,高位補 0。

  0100(十進制 4 )
>>    (右移 1 位)
= 0010(十進制 2 )

算術右移

除了邏輯位移 (Logical shift) 外,還有算術位移 (Arithmetic shift) 它與邏輯位移的差異就是會在最左側補上號數 (sign bit) 的值。

如果讀者看過先前介紹的數值系統,就會知道若今天我們所存放的變數是含正負號的整數,它會在 MSB (高位) 占用一個 bit 去辨別正負號 (0 為正,1 為負)。

  11110(十進制 -14 )
>>    (右移 1 位)
= 11111(十進制 -15 )

在 C 語言中,對於有號數的操作都是以邏輯左移 + 算術右移為主。

實際上還是需要參考你所使用的編譯器是如何實作。

若我們想要在 C 語言實現邏輯右移,可以將變數轉為無號數再做操作:

int mian()
{
    int n = 0xfffffffe;
    int m = (unsigned int)n >> 1;
    printf("0x%x\n", m);
}

那個...算術左移呢?

為什麼剛剛都沒有提到算術左移呢?
筆者舉兩個例子方便解說:

  • 對正數來說 (signed-bit = 0)
    向左移也還是正數,若變成負數則代表該數值已經 overflow 了。
  • 對負數來說 (signed-bit = 1)
    由於負數會用 2 的補數表示,所以前面都是 1。
    若 offset 超過了代表該數值也是有問題的。

邏輯左移和算術左移並沒有任何差異,不像是右移時需要考慮 signed-bit 的問題。就本質上來說,兩者所做的事情根本一模一樣。因此,剛剛才沒有介紹算術左移 XD

小總結

移位的效果幾乎等效於乘法/除法。對電腦硬體來說,乘除法屬於複雜運算,需要使用多條指令才能做到。若我們熟悉位移操作,便能將原先要多條指令才能做到的事情簡化成用一條指令達成,有助於撰寫出更高效的程式碼。

特殊情況可以參考這裡

此外,若讀者想測驗一下自己對 Bitwise 的操作是否熟練,可以在該網站小試身手。

如果覺得這些都太簡單,可以參考 Jserv 的 Bitwise 教學

布林函數

多工器

圖片取自 wikipedia

上圖是一個二選一的數據多工器,他的布林函數如下:

布林函數

我們可以利用剛剛所學的 Bitwise 操作,在 C 語言寫出與上面布林函式等效的表達式:

bool z = (A & ~S) | (B & S);
  • 真值表
S A B Z
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 1

這個真值表表示:

  • 當 S = 0 時,Z = A。
  • 當 S = 1 時,Z = B。

當然,我們也可以透過 C 語言表達式和布林函數推敲出這個結果。

此外,我們回到剛剛寫下的 C 語言表達式:

bool z = (A & ~S) | (B & S);

一共用了 4 個運算符號,從左至右分別是 &~|&
我們可以把一個運算符號當成一個邏輯閘,這也代表我們可以用兩個 AND gate 、一個 NOT gate 以及一個 OR gate 兜出一個二擇一多工器唷!

參考邏輯閘電路

總結

讀完本篇章,讀者可以迅速掌握基礎邏輯閘的功能並且學會 Bitwise 操作,有利於我們撰寫出更高效的 C 語言程式。

本篇中的邏輯閘圖片都是取自維基百科。

延伸閱讀

  1. 如果對於 CMOS 數位邏輯有興趣,可以看看中興物理的應用電子學講義
  2. 更多 Bitwise 的應用

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