高中聽過有人唸ㄙㄨㄟˊ 圓形，我當時真是害怕極了。

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橢圓曲線 （Elliptic curve）

要提到密碼學不可不提的就是橢圓曲線密碼學。
這個橢圓不是普通的橢圓，甚至有長得不像橢圓。
先來看這個橢圓曲線。

這個橢圓曲線叫做secp256k1，是用來建構比特幣公私鑰的橢圓曲線。
橢圓曲線會是一個方程式，形如

像secp256k1的方程式是 。

一個橢圓曲線要怎麼創造公私鑰，想出這個的人腦袋真的壞掉。
我看著這個圖形只覺得他長得好像鑰匙孔。

運算

是這樣的，我們先給定圖形上的一個點 P，
接著取一個倍數 a。
這時 aP 就會對應到圖形上的另外一個點（有夠神奇）。
而當 a 到達一定大小時，aP這個點就會消失在這個圖形上，
而這個點我們稱為無窮遠點 point at infinity（），此時的 a 稱為 order，寫作 「#E」。

上面看到的圖形是在實數中定義的橢圓曲線，
而我們要使用的是定義在質數體上的橢圓曲線。
簡單來說，就是在 mod p，
其中 p 是大於 3 的質數。

橢圓曲線有一些運算性質

1. 負號

若 P =(x, y)， 則-P=(x, -y)

2 單位元

3 加法

如果P和Q是橢圓曲線上的兩個點
那麼P+Q就會是將兩個點相連之後對x軸做鏡射的那個點

假設，，
首先要先算出 PQ線 的斜率 s 。

4 倍數

在橢圓曲線上做倍數的概念，
是找到P 的切線和曲線相較的點對 x 做鏡射。

運用以上所講的四個運算，就可以在橢圓曲線找出我們所需要的點。
而真正使用的 aP 也可以用加法跟倍數做出來。

舉個例子好了，
現在我們有一個曲線 (mod17)，

給定點P ( 8, 10 )。
經由運算你可以算出2P=(0, 22)
還可以一直算下去

3P = (16,2)
4P = (6,17)
5P = (20,3)
6P = (10,25)
7P = (2,6)
8P = (13,6)
...
34P = (16,27)
35P = (0,7)
36P = (8,19)
37P = $\theta$

算到最後一個36P+P的時候
因為斜率不存在，我們就說他的結果是無窮遠點。

我當然不是用手算的，下面會附上簡單的程式碼。
不過因為數字簡單，我簡陋的程式碼也有辦法算出來，
如果是數字很大的運算，電腦會直接卡住哦。
如果要加快電腦運算，需要用到其他方法來加速。

Hasse's Theorem

橢圓曲線密碼學在公鑰密碼學上的安全性，
取決於橢圓離散問題（ECDLP）的困難度。
也就是給定兩個點 T 和 P，問你「T= aP」 中， a 等於多少。

從上面的例子你可以知道，要想知道 a 是多少，基本上就只能把全部算出來找。
所以可以把 a 作為私鑰，T 作為公鑰。

已前面的secp256k1的例子來說：
在p = 之下
這個曲線上可以使用的點的數量以十六進位寫是
FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFE BAAEDCE6 AF48A03B BFD25E8C D0364141

根本不可能一個一個算出來。

Hasse's 定理是用來大略計算橢圓曲線的 order 。

內涵如下：

≦ #E ≦
也就是曲線上的點大約會跟質數 p 的位元一樣。
Order的大小，也攸關著橢圓曲線密碼的安全性。

圖片來源：
https://wiki.bitcoinsv.io/index.php/Secp256k1
https://gist.github.com/kanhavishva/6e86e43f107dc657e0dddd7fcddc3420

參考資料：
https://en.bitcoin.it/wiki/Secp256k1