隊列(queue)介紹

隊列就如同堆疊一般，是一種線性表，與堆疊不同的地方在於，堆疊的push和pop操作都是在棧頂(Top)的地方進行操作，而隊列則是插入元素在一端進行，而刪除則是在另外一端執行。

隊列的基本操作為Enqueue(入隊)，他是在表的末端(稱為隊尾(rear))插入元素。另一個操作為Dequeue(出隊)，作用為刪除(或是回傳)表頭(又稱為(front))的元素。

而元素推入Queue，是遵循著先進先出的原則(First In First Out)。假設我們依序將2和3進行Enqueue，看起來會像是以下

1. 將2進行Enqueue
   
2. 將3進行Enqueue(在隊尾(rear)插入元素)
   
3. 進行Dequeue(刪除頭(front)元素)
   
4. 進行Dequeue
   

我們可以觀察到，2為最先進入Queue的元素(Enqueue)，也是最先出隊(Enqueue)的元素，也就是所謂First In First Out的特性。

隊列的概念與操作

我們實作隊列無論使用串列還是陣列的方式，對其進行的任何操作皆為，以下為如何使用陣列實作出隊列。

首先，我們需要陣列Queue，以及位置front和rear，他們代表著Queue這個陣列的頭端和末端，除此之外，我們還需要紀錄陣列的大小，也就是陣列中元素的多寡size。所有這一些資訊作為結構(struct)的成員(member)並包裝起來

首先，先針對入隊(Enqueue)進行分析

入隊(Enqueue)

其實我們所進行的事情，就只是改變隊尾(rear = rear + 1)，並將元素放入隊尾(Queue[rear] = X)，沒有涉及到需要移動到整個陣列的操作，因此，時間複雜度為。就像是排隊一樣，來的人只要接在原來排隊人群的後面就可以了。

出隊(Dequeue)

接著，針對出隊(Dequeue)進行分析，出隊為將頭(front)元素移除的操作，就像是排隊一樣，排頭的人走了，那其餘的人就必須往前進一格，也因此出隊會涉及到整個陣列的移動，時間複雜度為。

原本排隊情形

排頭的人取得商品後走掉了

後面的人需要跟著往前進一格

以Queue陣列的結構圖演示就如同以下

但出隊需要的時間複雜度為，有沒有辦法將它簡化到，其實是有辦法的，只要我們不要限制隊頭(front)一定要在0號的位置，也就是排頭的位置，就可以不用涉及陣列所有元素移動的操作了，如同下圖所示

為了避免當只有一個元素時，隊頭(front)和隊尾(rear)重合的問題，我們使用兩個指標進行處理，front指標指向Queue陣列的隊頭，==rear指向Queue陣列的隊尾元素的下一個位置==，如下圖所示

執行Dequeue

執行Dequeue

執行Dequeue

我們可以發現，當front和rear重合時，就表示Queue為空的

空間不足的問題，與假溢出(False overflow)問題

下圖為長度為5的陣列，經過入隊(Enqueue)a1,a2,a3,a4的操作後的情況

然後我們將a1,a2出隊(Dequeue)

在將a5入隊(Enqueue)

我們會發現，當我們執行入隊(Enqueue)時，需要將rear + 1，他會跑到陣列界線以外的地方，造成錯誤，而且我們還發現到，當我們要將元素入隊時，如將a6入隊，Queue明明還有0號和1號的位置，卻無法將元素加入，因為會有rear越界的問題，而這個問題，我們稱之為假溢出問題(False overflow)。

解決假溢出問題，使用循環陣列(circular array)

要解決假溢出的問題，其實我們只要將rear跑到陣列界線時，再往下走一格會回到陣列的頭就可以解決了，也就是使陣列的頭尾相接，這種陣列我們稱之為循環陣列(circular array)。

而回到剛剛將a6入隊(Enqueue)的問題，我們使用循環陣列就能夠順利地解決了，原本將a5入隊會發生的狀況使用循環陣列後如下圖所示

然後我們將a6入隊

接著將a7入隊

此時我們又發現新的問題了，前面說過，當front和rear相等時，表示Queue為空的，在單向時行得通，但在循環陣列時就發生問題了，這裡我們的front和rear發生了重合，但是Queue卻不為空，我們要如何解決這個問題?

常見判斷Queue是為滿(Full)還是空(NULL)的方法，front和rear的特殊對應關係

下面我們會介紹常見判斷Queue是空還是滿的方法，歸納上面的演示，由於rear有可能大於front，也有可能小於front，當rear和front只相差一個位置時，有可能是Queue滿(Full)的狀況，但也有可能相差了整整一圈。

我們歸納出了一下結論，如果Queue的最大長度為QueueSize，==則Queue為滿(Full)的條件為，我們已下舉幾個例子來說明 :

Example 1.

如果QueueSize = 5

目前的front = 0，raer = 4
而我們帶入
，而front恰好為零，符合
因此判斷此Queue為滿(Full)。P.S:對於Full的Queue，我們保留一個空的格子

Example 2.

如果QueueSize = 5

目前front = 2，rear = 1
而我們帶入
，而front恰好為2，符合
因此判斷此Queue為滿(Full)。P.S:對於Full的Queue，我們保留一個空的格子

Example 3.

如果QueueSize = 5

目前front = 2, rear = 0
而我們帶入
，符合
因此判斷Queue未滿。

Queue的長度問題(Queue中元素個數)

我們可以將Queue求長度的問題分為兩個部分進行討論

1. 當時，如下圖
   
   此時Queue長度為rear - front，4 - 2 = 2

2. 當時，如下圖
   
   長度的問題就必須分段討論，一個為QueueSize - front，也就是5 - 2，另一段為0 + rear，也就是0 + 1，在將兩者相加，得到Queue的長度。

我們綜合了一下上方兩種情況，得到了一個通用==計算Queue長度的公式

取得Queue最後一個元素

取得最後一個元素，我們在實作Queue時，會空出一個格子，而rear指標會指向這一個空格，真正有元素的位置是在rear的前一格(請見上圖)，所以我們可能會以為最後一個元素即為Queue[rear - 1]，但事實上這是錯的，如果遇到rear在0號位置，那rear - 1即會超出Queue的邊界，造成違法存取的錯誤，因此，我們歸納出了一個公式，用來取得Queue的最後一個元素

Queue最後一個元素:

有了這一些結論後，我們就可以開始實作Queue了

單向隊列的實作ADT

下面為使用陣列實作隊列的ADT

#ifndef _Queue_h

Queue* InitQueue(Queue* Q);
void DestroyQueue(Queue* Q);
void ClearQueue(Queue* Q);
int IsEmpty(Queue* Q);
int GetHead(Queue* Q);
int Gettail(Queue* Q);
void EnQueue(Queue* Q, ElementType X);
void DeQueue(Queue* Q);
int QueueLengh(Queue* Q);
void PrintQueue(Queue* Q);
#endif /* _Queue_h */

/* Place in implementation file */
/* Queue implementation is a dynamically allocated array */
#define MaxQueueSize (number)

typedef struct Queue{
    int Front;
    int Rear;
    ElementType *Array;
}Queue;

IsEmpty實作

int IsEmpty(Queue Q)
{
    return QueueLenght(Q) == 0;
}

說明:如果長度為零，表示Queue為空。

IsFull實作

int IsFull(Queue Q)
{
    return QueueLenght(Q) == MaxQueueSize - 1;
}

說明:長度等於MaxQueueSize - 1，原因為Queue狀態為滿時，我們會空出一格。

InitQueue實作

Queue* InitQueue()
{
    Queue* Q = malloc(sizeof(Q));
    Q->array = malloc(sizeof(int) * MaxQueueSize);
    Q->front = 0;
    Q->rear = 0;
    return Q;
}

QueueLengh實作

int QueueLengh(Queue *Q)
{
    return (Q->rear - Q->front + MaxQueueSize) % MaxQueueSize;
}

說明:請參照上方說明。

EnQueue實作

int EnQueue(Queue *Q, int X)
{
    if((Q->rear + 1) % MaxQueueSize == Q->front)
    {
        return -1;
    }
    Q->array[Q->rear] = X;
    Q->rear = (Q->rear + 1) % MaxQueueSize;
    return 0;
}

說明:
表示判斷Queue是否為滿，如果發現Queue已滿，則無法再將元素入隊(Enqueue)，回傳錯誤碼-1。

如果Queue不為滿，則將元素入隊(Enqueue)，也就是將元素加在Queue的尾巴(rear)，並改變rear的位置。

DeQueue實作

int DeQueue(Queue* Q)
{
    int front_value;
    if(Q->front == Q->rear)
    {
        return -1;
    }
    front_value = Q->array[Q->front];
    Q->front = (Q->front + 1) % MaxQueueSize;

    return front;
}

說明:
當front和rear相等時，即表示Queue為空(注意: 這是單向Queue，非循環Queue)。

如果Queue不為空，則先將Queue隊頭(front)的元素存入front_value中，並改變front的索引號

之後回傳原先Queue頭元素，也就是front_value。

printQueue實作

void printQueue(Queue *Q)
{
    for(int i = 0; i < QueueLength(Q); i++)
    {
        if(i >= 1)
        {
            printf("%s", "->");
        }
        printf("%d", Q->array[i]);
    }
}

DestroyQueue實作

void DestroyQueue(Queue* Q)
{
    free(Q->array);
    free(Q);
}

GetTail實作

int GetTail(Queue* Q)
{
    return Q->value[Q->rear - 1 + MaxQueueSize] % MaxQueueSize; 
}

Queue實作範例程式碼

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MaxQueueSize 10

typedef struct Queue{
    int front;
    int rear;
    int *array;
}Queue;

Queue* InitQueue(void);
void DestroyQueue(Queue* Q);
void ClearQueue(Queue* Q);
int IsEmpty(Queue* Q);
int IsFull(Queue* Q);
int GetHead(Queue* Q);
int GetTail(Queue* Q);
int EnQueue(Queue* Q, int X);
int DeQueue(Queue* Q);
int QueueLength(Queue* Q);
void printQueue(Queue* Q);

int main(void)
{
    Queue *Q = InitQueue();
    EnQueue(Q, 1);
    EnQueue(Q, 2);
    EnQueue(Q, 3);
    EnQueue(Q, 4);
    EnQueue(Q, 5);
    DeQueue(Q);
    DeQueue(Q);
    DeQueue(Q);
    printQueue(Q);
    printf("\nThe QueueLength is %d", QueueLength(Q));
    printf("\nThe front of Queue is %d", GetHead(Q));

    DestroyQueue(Q);
}

Queue* InitQueue()
{
    Queue* Q = malloc(sizeof(Q));
    Q->array = malloc(sizeof(int) * MaxQueueSize);
    Q->front = 0;
    Q->rear = 0;
    return Q;
}

void DestroyQueue(Queue* Q)
{
    free(Q->array);
    free(Q);
}

int QueueLength(Queue *Q)
{
    return (Q->rear - Q->front + MaxQueueSize) % MaxQueueSize;
}

int EnQueue(Queue *Q, int X)
{
    if((Q->rear + 1) % MaxQueueSize == Q->front)
    {
        return -1;
    }
    Q->array[Q->rear] = X;
    Q->rear = (Q->rear + 1) % MaxQueueSize;
    return 0;
}

int DeQueue(Queue* Q)
{
    int front;
    if(Q->front == Q->rear)
    {
        return -1;
    }
    front = Q->array[Q->front];
    Q->front = (Q->front + 1) % MaxQueueSize;

    return front;
}

void printQueue(Queue *Q)
{
    for(int i = Q->front; i < Q->rear; i++)
    {
        if(i > Q->front)
        {
            printf("%s", "->");
        }
        printf("%d", Q->array[i]);
    }
}

int IsEmpty(Queue *Q)
{
    return QueueLength(Q) == 0;
}

int IsFull(Queue *Q)
{
    return QueueLength(Q) == MaxQueueSize - 1;
}

int GetHead(Queue *Q)
{
    return Q->array[Q->front];
}

int GetTail(Queue* Q)
{
    return Q->value[(Q->rear - 1 + MaxQueueSize) % MaxQueueSize]; 
}

參考資料: 大話數據結構，C语言程序设计现代方法第2版，Introduction to algorithms 3rd，圖片源於網路(flaticon)