函數(Function)

函數是一種對應關係，所以在討論函數之前，我們要先了解什麼對應關係。

對應關係

對應關係就是兩個集合之間的關係，一個集合為定義域，另一個集合則是對應域，定義域的每個元素可能對應到0個、1個或多個對應域裏的元素，嚴謹一點，可以用有序對(x,y)來表示，其中 x 是定義域的元素， y 是對應域的元素。。

國高中數學討論的集合主要是實數，我們這裏就以實數為例，討論對應關係。通常常見的方程式、不等式都是一種對應關係。

例如： f(x) = x²，就是一個對應關係，我們必須先設定那一個變數代表定義域的元素，那一個變數代表對應域的元素。通常我們預設x是定義域裏的元素，也稱為因變數，y是對應域的元素，稱為應變數， x 的每一個值都對應到 y 的一個值，例如： 1 → 1， 2 → 4，3 → 9， 4 → 16 ，…。反過來， y 的每一個值都對應到 x 的一個值，例如： 1 → 1， 1 → -1，4 → 2， 4 → -2 ，…
再看不等式 3x ≥ y ，這個不等式也是一種對應關係。

函數的定義

函數是兩個集合的一種對應關係，一個集合是定義域，一個集合是對應域;定義義域中的每一個元素，在對應域中都有「唯一」的元素與之對應。並不是所有的對應關係都是函數，只有滿足「唯一」的對應關係才是函數，我們將這種對應關係記作 x → y。

假設我們的定義域和對應域都是實數，以平方關係為例，每一個實數都可以計算出它的平方，例如： 1 → 1， 2 → 4，3 → 9， 4 → 16 ，…，這種對應關係就是函數，我們將這種函數記作 f: x → x² ，或是寫作 f(x) = x²。

國高中求學時期，許多的參考書或考卷常常用語不清楚，導致學生對函數的定義感到困惑。例如說 y²=x，請問 y 是不是 x 的函數，

函數是一個很難望文生義的數學名詞，所以我們從英文定義更容易擷取它的內涵，函數的英文是function，這個字的意思是「功能」，一般可以從下圖理解成輸入與輸出的關係，也就是輸入是定義域，輸出是對應域。而 f(x) = x² 這種寫法容易讓人將函數理解為公式，而無法體會函數其實是兩個集合的對應關係。 f(x) 在英文中讀作「f of x」，大多數人翻譯成「f在x上的值」，但我覺得這不是一個好的唸法。我通常會念成「x的f」，強調f是一種對應關係。闢如說，子父關係，我們會說「張三的父親是張丙」來強調兒子父親是一種對應，由每個人恰有一個父親，所以兒子對應父親是一種函數關係，所以「張三的父親」對應的是一個確切的人，沒有模糊性，所以後面我們可以接「是」這個字。反過來說，兒子的關係就不是函數關係，因為一個人可能有多個兒子或是沒有兒子，所以「張丙的兒子」不是一個確切的人，所以後面不能接「是」。

國高中的數學，我們討論的定義域和對應域通常都是實數，所以當函數關係成立的時候，我們就可以說 f(x) = x² 這種寫法，因為這個對應具有唯一性，所以可以使用等號。而反過來，當一個關係不是函數關係的時候，我們就不能用等號，例如，平方根的關係，因為一個正數有兩個平方根，而負數沒有平方根，但是你會很疑惑，我們不是有 這種寫法嗎？事實上，這個 取的是正平方根，如此就會只有一個答案，也就滿足函數的定義。

事實上，函數的定義域和對應域不一定要是實數，也可以是各式各樣的集合，也可以是函數自己形成的集合，這些我們在後面都有機會可以碰到。

Typescript函數

一級函數(First-Class Function)

在typescript中，函數是一級函數，也就是說函數和number，string和boolean…等其它型別的值一樣，可以指定給變數，也可以當作參數傳遞給另一個函數，也可以從函數中回傳函數。這種特性實現了數學上將函數抽象化，讓它可以成為集合中的元素，在函數式程式設計中非常有用，也是函數式程式設計中函數必須具備的特性，也是High Order Function(HOF)設計的基礎條件。

Typescript中的函數

Typescript函式的寫法有下列幾種：

寫法一

function 函數名稱(參數1: 型別1, 參數2: 型別2, ...): 回傳型別 {
函數內容
return 回傳值
}
這種寫法是函數的標準寫法，函數名稱是函數的識別字，參數是函數的輸入，回傳型別是函數的輸出，函數內容是函數的邏輯，return是函數的輸出，回傳值是函數的輸出值。這種寫法也具備Hoisting的特性，也就是函數的宣告可以放在函數的呼叫之前。
例如：

function add(a: number, b: number): number {
   return a + b;
}

上面這個add函數的函數名稱add會有一個屬性叫做name，而它的值就是'add'，對照後面的匿名函數，這是一個非匿名函數。

寫法二

const 變數名稱 = function(參數1: 型別1, 參數2: 型別2, ...): 回傳型別 {
函數內容
return 回傳值
}
這種寫法是將一個匿名函數指定給一個變數,相較於非匿名函數，這種寫法並不具備Hoisting的特性，也就是函數的宣告不能放在函數的呼叫之前, 其它方面並沒有太大的差異。
例如：

const add = function(a: number, b: number): number {
   return a + b;
}

雖然我們這種函數是一種匿名函數，但是許多的Javascript引擎仍然給add一個name的屬性，值是'add'，在特別的寫法中，可以發現它們其實沒有name的屬性。詳細請參考Mastering_JavaScript_Functional_Programming這本書第2章。

寫法三

const 變數名稱 = (參數1: 型別1, 參數2: 型別2, ...): 回傳型別 => {
函數內容
return 回傳值
}

或
const 變數名稱 = (參數1: 型別1, 參數2: 型別2, ...): 回傳型別 => 回傳值
回傳值可以是表達式，也可以是函數呼叫。

表達式是一種可以計算出值的式子，例如：1 + 2，這個式子可以計算出3這個值，表達式可以被它所計算出來的值所取代，例如：1 + 2可以被3所取代。

const add = (a: number, b: number): number => a + b;

這種寫法的箭頭函數最合乎我們數學對應關係的寫法，因為我們在數學中，函數的寫法是
f: x → x²，這種寫法非常接近我們的寫法，所以這種寫法也稱為lambda寫法；箭頭函數也是匿名函數，所以也不具備Hoisting的特性，也就是函數的宣告不能放在函數的呼叫之前。

if-else語法

在函數裏面使用if-else語法回傳函數值，if和else的程式區段都要回傳滿足回傳型態的值，如此才能滿足函數定義的要求。

// 合乎定義的函數
const absolute = (x: number) => {
   if (x >= 0) return x
   else return -x
}
// 不合乎定義的函式，x < 0時無回傳值
const absolute1 = (x: number) => {
   if (x >= 0) return x
}

三元運算子(Ternary Operator)也是一種表達式，可以用來替代一些if-else語法，它的寫法是條件式 ? 值1 : 值2，如果條件式成立，則回傳值1，否則回傳值2。例如：1 > 2 ? 3 : 4，這個式子可以計算出4這個值，因為1 > 2不成立，所以回傳4。

函數也是一種型別

Typescript中，函數也是一種型別，例如輸入型別是number，輸出型別是number的函數型別可以寫成(number) => number，這種寫法稱為函數型別，因此函數在定義的時候，可以用type關鍵子定義函數的型別，再將函數宣告為此函數型別，如此便不必在函數的內容中寫出參數的型別和回傳值的型別。以箭頭函數為例，我們可以這樣寫：

type 函數型別名稱 = (參數1: 型別1, 參數2: 型別2, ...) => 回傳型別

const 變數名稱: 函數型別名稱 = (參數1, 參數2, ...) => 回傳值

例如：

type Add = (a: number, b: number) => number;
const add: Add = (a, b) => a + b;

引用透明性(Referential Transparency)

引用透明性(Referential Transparency)是指一個表達式可以被它所計算出來的值所取代，而不影響程式的結果。例如：1 + 2可以被3所取代，而不影響程式的結果。這種特性在函數式程式設計中非常重要，因為函數式程式設計中函數必須具備的特性。

所有的數學算式和數學函數都具有引用透明性，例如： f(x) = x²，我們可以將 x 替換為任何數字，例如： f(1) = 1² = 1， f(2) = 2² = 4， f(3) = 3² = 9， f(4) = 4² = 16，…。

當一個函數具備引用透明性，便是代表相同的輸入，必定會得到相同的輸出，在程式設計中，我們稱這種函數為純函數，也就是符合數學規定的函數。

和日期時間有關的函數以及亂數函數通常不具有引用透明性，也就是相同的輸出可能會得到不同的輸出，例如：

const now = new Date();
const random = Math.random();

now和random這兩個函數每次都會得到不同的結果，因此不是純函數。

名詞爭議

副程式 Subroutine

早期的程式語言通常會區分Function和Subroutine，Function會有回傳值，而Subroutine不會有回傳值，例如：VB、Fortran和Pascal都有明顯區分(Pascal使用Procedure)，很明顯Subroutine沒有回傳值，主要的任務便是進行一輸出入的操作，或是副程式外部資料結構的處理演算，因此Function的定義也比較接近數學上的函數(因為一定要有回傳值)，但是並沒有嚴格禁止操作外部變數。從C語言開始，似乎這兩個就合而為一，不再區分，是否回傳值也沒有硬性規定。C、C++和Python的關鍵字上並沒有使有Function這個字，許多教學用書籍都通用函數(Function)這個名詞，因此數學上和程式語言上函數(Function)的混用，讓這個詞語的意義存在混洧的情形。

而函數式程式設計便將程式設計中符合數學定義的函數稱純函數(Pure Function)，而不滿足數學定義的函數程式稱為有副作用(Side Effect)的函數。而像Haskell這種純粹為函數式程式設計發展的語言便嚴格規定只能使用純函數，也為了只有純函數的程式世界，設計了不同於一般程式語言的資料流程處理模式，這邊利用這個機會替函數(Function作個澄清)。

今日小結

函數是函數式程式設計的主角，純函數就是數學上的函數，具備了引用透明性的函數就像是一根一根的水管，讓資料從水管的一頭流進，我們也能確定水管的另一頭流出什麼樣的資料。因此整個程式設計的工作就是將這些水管好好的接引，這就是所謂的函數式程式設計。只要我們能測試每一根水管都是沒有問題，那整個程式也就安全無虞。今日的分享就到這邊告一段落，明天再見。