一、SIS 問題：短整數解問題（Short Integer Solution）
1.什麼是 SIS 問題？
想像你有一個隨機矩陣A（在模q的有限體系中)，SIS問題的目標是：
尋找一個非零的向量v，使得Av同餘(mod q)
#額外條件為向量$v的長度（元素的大小）必須非常短
2.直覺理解
如果沒有「長度很短」這個限制，尋找Av同餘(mod q)只是簡單的線性代數問題，用高斯消去法瞬間就能解開，但加上了「長度限制」後，問題就變成了：「在一個無限延伸、密密麻麻的高維度幾何網格中，找出一個距離原點最近、且滿足特定線性條件的非零網格點」 使得這在數學上被證明是極度困難的
二、LWE 問題：帶有雜訊的學習問題（Learning with Errors）
1.什麼是 LWE 問題？
LWE是Oded Regev於2005年提出的劃時代發明，我們可以想像在破解一組密碼，手上有大量的樣本：
每一筆樣本由一個隨機向量Ai和一個數值bi所組成，他們的關係是：bi=Ai乘s+e(mod q)
#其中的s是你想找的祕密向量，而e則是隨機加入的微小雜訊（Error)
2.直覺理解
這本質上也是一組聯立方程式，如果沒有雜訊e，這就是單純的b=As，只要方程式夠多，用高斯消去法一下能就算出s了；但是加入雜訊e之後，每一個方程式都被人為揉捏、偏移了一點點，這點微小的誤差，會導致傳統的代數消去法完全無法處理，使得你算出來的答案會累積誤差，離真正的祕密s越來越遠。
三、為什麼高維度幾何在雜訊干擾下難以被破解？
原因有以下3個，各分別詳細說明：
1.維度爆炸與空間迷失
在高維空間中，體積會以指數級暴增，網格點雖然存在，但它們之間的距離變得極其空曠又極其複雜，要在這個天文數字般的搜尋空間裡準確的找到一條特定的短路徑或一個隱藏的向量，暴力破解需要耗費幾億年等級的時間
2.雜訊形成的迷霧防線
攻擊者如果想用代數方法（如矩陣運算）直接定位，會被雜訊誤導，並且如果想用幾何方法（如尋找最近點）去穿透防護罩，又會被高維度的複雜結構卡住，因此攻擊者會難以破解
#雜訊與幾何的化學效應：
雜訊模糊了代數的精確邊界，而高維度幾何則隱藏了最短路徑的方向，因此兩者結合，會使得攻擊者既不能用代數「算」出來，也不能用幾何「找」出來
3.最壞情況與平均情況的完美對應
LWE 和 SIS 最厲害的地方在於其數學證明：
「只要世界上最厲害的超級電腦在最壞情況下解不開高維度幾何的最短向量問題（SVP），那麼你在網路上用LWE/SIS加密的每一筆資料，在平均情況下就絕對安全。」
這也是為什麼它們能夠抵抗量子電腦，且量子電腦的核心武器Shor's Algorithm擅長破解基於「質因數分解」和「離散對數」具有群論結構的問題，但面對LWE/SIS這種充滿隨機雜訊的高維幾何分佈，量子電腦也無法處理，只能跟傳統電腦一樣