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2017 iT 邦幫忙鐵人賽
DAY 4
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在柏拉圖問題當中的第一部份是關於把題目數學化:
假如有N個球,每顆球的價值都不一樣。第一大為N,第二大為(N-1),依此類推 … 最小為1(遊戲開始時只知道分數,不知道大小)。把這N顆球放到一個袋子裡,隨機拿球出來。現在的問題是:你要怎麼拿才可以拿到最大的球(N)呢?

現在我們研究「該利用怎麼樣的策略,得到最大的球(N)的機率會最大」。我們的策略是:
前(S-1)顆球完全不考慮,
從第S顆球起開始決定要不要拿,
如果第S顆球是前(S-1)顆最大的話,我們就「拿」,否則就到下一家。
可是,只剩最後一顆的情況下時,還是得拿最後那一顆。

根據我們的策略,其實是要研究在已知N是多少時,S為多少時,其得到最大的球(N)的機率會最高。

為了實際操作,我們先特殊化。設N=4,總共會有4!=24種,排列如下:
http://ithelp.ithome.com.tw/upload/images/20161218/20103852VLH7ipJf7V.png
當S=2時,因為考慮到第一個值,導致第一個位置不能放4

(1)第二顆球大於第一顆球就拿。拿取到最大值的組合如下:
http://ithelp.ithome.com.tw/upload/images/20161218/20103852oz1UBBfjHf.png

(2)第二個比第一個小,但是第三個比第一個大,所以拿到最大值。拿取到最大值的組合如下:
http://ithelp.ithome.com.tw/upload/images/20161218/20103852vaV0J4BsHj.png
(3)最後一種是第二顆和第三顆都比第一顆小,到第四顆才比一顆大,所以拿到最大值。拿取到最大值的組合如下:
http://ithelp.ithome.com.tw/upload/images/20161218/201038527u8QyzCiCx.png
在第2個就取到最大值的有 6 種,計為 6/24
在第3個才取到最大值的有 3 種,計為 3/24
在第4個才取到最大值的有 2 種,計為 2/24

整理N=4,4≥S≥2的情況:
http://ithelp.ithome.com.tw/upload/images/20161218/20103852YJNwtlJaXX.png

再討論N=5,5≥S≥2的情況:
http://ithelp.ithome.com.tw/upload/images/20161218/201038522Knjd60IGF.png

我們可以發現只要在每個數字乘以 (S-1)/N 後會形成調和數列,共有(N-S)項。可以寫成這樣:
http://ithelp.ithome.com.tw/upload/images/20161218/20103852d8ZJe0zFA2.png

接下來就是要把可以把這個公式可以得到最大值機率最大的 N 和 S 的比例找出來了...

待續...


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