延著走道往下，我走過一個又一個的房間。忽然有一種奇怪的念頭浮上，我感覺其實每個房間裡的鏡子雖然看似迥異，但其實一直都是同一面鏡子。它只是跟隨著我，不斷的移動到下個房間裡。而這面鏡子會依它所在的地方，變換其樣貌…

看似走到建築物的底端，但等在走道盡頭的，卻是一座樓梯。

居然還要去樓上…

Maybe 是一種 Monoid 嗎？

這個嘛…看情況。Maybe 也可以是一種 Monoid，但是有條件。那個條件就是當這個 Maybe 裡裝的東西，是一個 Semigroup 的時候，那麼就可以推導出這個 Maybe 的 Monoid 性質。

-- Haskell 語法
-- Maybe Monoid 的型別宣告
instance Semigroup a => Monoid (Maybe a)

試試看吧：

如果兩個 Maybe Monoid <> 在一起的時，兩邊都是有值的 Just，那麼就會用裡面的值(記得它是 Semigroup 嗎？) 的 <> 的方式併在一起，再裝回 Just 裡。

而如果任何一邊是 Nothing 時，那就忽略 Nothing。

-- Haskell 語法
Just (Sum 1) <> Just (Sum 2) -- => Just (Sum {getSum = 3})

Just (Sum 1) <> Nothing -- => Just (Sum {getSum = 1})

不過當我們說到忽略 Nothing 這件事的時候，請記得這是 Haskell 在 Maybe Monoid 上實作的行為。Maybe 的 Monoid 有其它可能，只是沒有實作出來。而這個可能，我們會在其它 typeclass 上看到。

元組是一種 Monoid 嗎？

要讓元組是 Monoid，也有它的條件。跟 Maybe 的情況類似，元組要成為 Monoid，那麼它裡面的成員也都要是 Monoid 才行：

-- Haskell 語法
-- 元組們的 Monoid 的型別宣告
instance (Monoid a, Monoid b, Monoid c, Monoid d, Monoid e) =>
         Monoid (a, b, c, d, e)

instance (Monoid a, Monoid b, Monoid c, Monoid d) =>
         Monoid (a, b, c, d)
 
instance (Monoid a, Monoid b, Monoid c) => Monoid (a, b, c)

instance (Monoid a, Monoid b) => Monoid (a, b)

-- 試試看
(Sum 1, Product 2) <> (Sum 2, Product 3) 
-- => (Sum {getSum = 3},Product {getProduct = 6})

布林值是一種 Monoid 嗎？

在這裡讓你停下來想一下。

其實跟整數的情況一樣，可以運用在布林值上，符合封閉律與結合律的二元運算也不只一個。所以就像整數有 Sum 及 Product 一樣。布林值也有 All 及 Any 這兩個型別：

-- Haskell 語法
(All True) <> (All False) <> (All True)  -- => All {getAll = False}

(Any False) <> (Any False) <> (Any True) -- =>Any {getAny = True}

順帶一提，還有 First 及 Last 這兩個可以做用在 Maybe 上的 Monoid 也蠻有趣的。

那麼，我們要來問一個很重要的問題了： 函式，也是一種 Monoid 嗎？

函式是一種 Semigroup 嗎？

我們可以先試著證明函式是不是一種 Semigroup。方法就是找到一個二元運算(或幾個函式的組合成的二元運算)，可以符合 1. 封閉律 及 2. 結合律。

想到了嗎？接收兩個函式，回傳一個函式的東西………

是的。 .。

函式的組合就是一種符合封閉律與結合律的二元運算。我們可以證明一下：

-- Haskell 語法
f = (+ 1)
g = (* 2)
h = (+ 3)

cf1 = (f . g) . h
cf2 = f . (g . h)

cf1 1 == cf2 1

函式是一種 Monoid 嗎？

那麼看來似乎我們只要找到一個跟任何函式 . 組合在一起時，能讓該函式依然是函式自己的函式就好了 (這句有點難唸，希望你腦袋裡的聲音沒有咬到舌頭。)

Haskell 的匿名函式

得益於 Haskell 函式的天生懶惰特性，我們至今都還沒在 Haskell 裡用過匿名函式。但是 Haskell 裡其實是有匿名函式的。它的語法如下：

-- Haskell 語法
\x -> x + 1

參數的前方要加一個反斜線 \，據聞是因為這看起來跟 很像，只是少了左邊的腳而已(哈哈)。當然，它也完全符合一等公民的所有性質，可以指派給變數，當做呼叫其它函式的引數……你知道的。

沒作用的函式？

那個跟任何函式組合，而不會造成任何改變的函式，長得像這樣：

-- Haskell 語法
\x -> x

接收到一個參數，並原封不動的回傳的函式，我們稱之為恆等函式。而這個函式雖然看起來什麼事都沒做，但其實它有許多有趣而且非它不可的用法。因此 Haskell 裡其實就內建了這個函式，叫做 id。

-- Haskell 語法
id 1 -- => 1
id True -- => True

等一下，其實還有一個前題：

當我們知道 id 這個函式，就是函式的 mempty 之後，要證明函式也是 Monoid，我們還少考慮了一件事，那就是當兩個函式合併之後，這兩個函式的回傳值要怎麼合併在一起？想一下吧。

就跟上面的幾個型別一樣，函式要成為 Monoid 的條件，就是這兩個函式的回傳值，也要是同型別的 Monoid 才行：

-- Haskell 語法
-- 內建：函式 Monoid 的實作
instance Monoid b => Monoid (a -> b) where
    mempty _ = mempty
    mappend f g x = mappend (f x) (g x)

-- 用用看！
f x = Sum x * 10
g x = Sum x - 1

h = f <> g
h 20 -- => Sum {getSum = 219}

那麼，我們是不是可以在串列裡，放進一堆函式，只要這些函式的回傳值是同類型的 Monoid，那麼就可以把它們用 fold (也就是 reduce) 組合成一個函式了？

終於我看到了一個鑲嵌著大塊板子的平台，而這次沒有東西擋在上面了。仔細看了一下，上面寫著……

[to be continue]