今天來玩玩看 Python 中的有理數，先來看一下維基中有理數的定義：

可以表達為兩個整數比的數被定義為有理數。

因此，7/3是有理數，{\sqrt {2}}/則是無理數。

Python 有個內建 module 可以讓我們玩一下有理數：

from fractions import Fraction

看一下 Fraction class 的介紹：

help(Fraction)

Help on class Fraction in module fractions:

class Fraction(numbers.Rational)
 |  Fraction(numerator=0, denominator=None, *, _normalize=True)
 |  
 |  This class implements rational numbers.
 |  
 |  In the two-argument form of the constructor, Fraction(8, 6) will
 |  produce a rational number equivalent to 4/3. Both arguments must
 |  be Rational. The numerator defaults to 0 and the denominator
 |  defaults to 1 so that Fraction(3) == 3 and Fraction() == 0.
 |  
 |  Fractions can also be constructed from:
 |  
 |    - numeric strings similar to those accepted by the
 |      float constructor (for example, '-2.3' or '1e10')
 |  
 |    - strings of the form '123/456'
 |  
 |    - float and Decimal instances
 |  
 |    - other Rational instances (including integers)
 |  

看完說明，我們知道有很多種方法可以建出有理數，比如餵整數進去：

Fraction(1)    

Fraction(1, 1)

Fraction(1, 3)   # 第一個引數是分子，預設1，第二引述是分母，預設None

Fraction(1, 3)

我們也可以用 Fraction 建出 Fraction：

x = Fraction(2, 3)
y = Fraction(3, 4)
# 2/3 / 3/4 --> 2/3 * 4/3 --> 8/9
Fraction(x, y)

Fraction(8, 9)

也可以用浮點數建出物件：

Fraction(0.125)

Fraction(1, 8)

Fraction(0.5)

Fraction(1, 2)

甚至也可以傳字串進去：

Fraction('10.5')

Fraction(21, 2)

Fraction('22/7')

Fraction(22, 7)

Fractions 會自動約分：

Fraction(8, 16)

Fraction(1, 2)

如果是負數的話，負號會自動被移到分子（並不影響結果）：

Fraction(1, -4)

Fraction(-1, 4)

Fraction 也支援四則運算：

Fraction(1, 3) + Fraction(1, 3) + Fraction(1, 3)

Fraction(1, 1)

Fraction(1, 2) * Fraction(1, 4)

Fraction(1, 8)

Fraction(1, 2) / Fraction(1, 3)

Fraction(3, 2)

我們可以從 Fraction 中取出分子和分母：

x = Fraction(22, 7)
print(x.numerator)
print(x.denominator)

22
7

浮點數的最大逼近

國中學過，圓周率 π 是 3.1415926...... 的無限循環小數，在電腦程式中，沒有無窮的記憶體存這種數字，所以即使是 π 這種數字，也是有限的小數。

既然是有限小數，就一定可以轉成分子是整數、分母也是整數的型態，也就是有理數：

import math
x = Fraction(math.pi)
print(x)
print(float(x))

884279719003555/281474976710656
3.141592653589793

x = Fraction(math.sqrt(2))  # 根號2在現實世界中是無理數，程式語言中則是取逼近值
print(x)

6369051672525773/4503599627370496

Note that these rational values are approximations to the irrational numbers $\pi$ and $\sqrt{2}$

Beware!!

Float number representations (as we will examine in future lessons) do not always have an exact representation.

但這邊要小心了！浮點數的逼近值有可能會變化！

0.125 (1/8) 是有完美正確的「逼近值」，所以永遠會轉化成分子分母相同的有理數:

Fraction(0.125)

Fraction(1, 8)

但 0.3 (3/10) 的逼近值並不「完美」，所以會看到怪異的事發生：

Fraction(3, 10)    

Fraction(3, 10)

不等於

Fraction(0.3)

Fraction(5404319552844595, 18014398509481984)

這塊未來會有更詳細的說明，這邊我們快速解釋一下：

x = 0.3

print(x)

0.3

浮點數 0.3 看起來完美無缺，因為 Python 為了閱讀方便會自動捨去位數。

我們可以故意強迫Python多顯示幾位數看看：

format(x, '.5f')

'0.30000'

也是很完美。

再多顯示一點好了⋯⋯

format(x, '.25f')

'0.2999999999999999888977698'

怪事發生了！0.3 變成了 0.2999999999999999888977698

我們可以用另外一種方式檢查：

delta = Fraction(0.3) - Fraction(3, 10)

delta 應該要是零對吧？結果不是：

delta == 0

False

delta

Fraction(-1, 90071992547409920)

float(delta)

-1.1102230246251566e-17

delta 是一個很小很小的浮點數。

限制分母

我們先對 pi 做 Fraction：

x = Fraction(math.pi)
print(x)
print(format(float(x), '.25f'))

884279719003555/281474976710656
3.1415926535897931159979635

你可以對 Fraction 限制分母，設限以後，Python 會以不超過該分母的值去產生（逼近）浮點數。

逼近的方法是 Fraction.limit_denominator：

y = x.limit_denominator(10)
print(y)
print(format(float(y), '.25f'))

22/7
3.1428571428571427937015414

上面分母不能超過10，逼近出來的 pi 值就跟 3.14159 差了一些。

y = x.limit_denominator(100)
print(y)
print(format(float(y), '.25f'))

311/99
3.1414141414141414365701621

y = x.limit_denominator(500)
print(y)
print(format(float(y), '.25f'))

355/113
3.1415929203539825209645642

可以看到分母限制放得越寬，pi的逼近也越準了。

好啦！今天有理數的學習就到這邊，明天開始就是一系列的浮點數練習嚕！
我們明～天～見～

參考：Python 3: Deep Dive (Part 1 - Functional)