重啟旅途~監督式學習 —— 線性迴歸和邏輯迴歸

15th鐵人賽機器學習學習筆記

rubylin

團隊好想放假大學

2023-09-24 22:01:17

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NCPC 小炮灰，謝謝你簽到題，至少不是 0。

線性迴歸（ Linear Regression ）

用於預測未知資料的值
找多個自變數( independent variable )和應變數( dependent variable )之間的線性關係
線性迴歸用一條直線來擬合資料，並用直線來預測未知資料

簡單線性迴歸（Simple Linear Regression） 只有一個自變數和一個應變數之間的關係
$Y = \beta_0 + \beta_1X + \epsilon$
多元迴歸( multiple regression ) 有多個自變數與一個應變數之間的複雜關係
$Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2 + \ldots + \beta_kX_k + \epsilon$

Y 是應變數（要預測的數值型變數）
X 是自變數（用於預測的特徵）
$\beta_0$ 是截距項（模型的截距，表示當所有自變數為 0 時的應變數的值）
$\beta_1X_1 , \beta_2X_2 , \ldots , \beta_kX_k$ 是係數（模型的參數，表示自變數對應變數的影響程度）
$\epsilon$ 是誤差項（隨機誤差，表示模型未能解釋的部分）

模型擬合

為了建立線性迴歸模型，要找到最適合資料的直線，使預測值和實際觀察值的誤差最小
最常見的方法是使用最小平方法

最小平方法（ least squares method ）

假設我們有一組資料點
$(x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)$
當想要擬合一個線性模型
$Y = \beta_0 + \beta_1X$
其中 Y 是應變數 X 是自變數

最小平方法的目標
找到一組係數使得模型預測值與實際觀察值之間的誤差平方和最小
最小化目標函數
$\min_{\beta_0, \beta_1} \sum_{i=1}^{n} (y_i - (\beta_0 + \beta_1x_i))^2$
對目標函數求解
目標函數關於係數的偏微分設為 0 然後解出係數的值
就可以找到使誤差平方和最小的係數
偏微分
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20%5Cbeta_0%7D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20(y_i%20-%20(%5Cbeta_0%20%2B%20%5Cbeta_1x_i))%5E2%20%3D%20-2%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20(y_i%20-%20(%5Cbeta_0%20%2B%20%5Cbeta_1x_i))$
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20%5Cbeta_1%7D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20(y_i%20-%20(%5Cbeta_0%20%2B%20%5Cbeta_1x_i))%5E2%20%3D%20-2%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20x_i(y_i%20-%20(%5Cbeta_0%20%2B%20%5Cbeta_1x_i))$
解方程系統
設定偏微分為 0
得方程系統
$\begin{cases} -2\sum_{i=1}^{n} (y_i - (\beta_0 + \beta_1x_i)) = 0 \\ -2\sum_{i=1}^{n} x_i(y_i - (\beta_0 + \beta_1x_i)) = 0 \end{cases}$

模型評估

使用均方誤差（MSE）和決定係數（R²）等指標評估線性迴歸模型的性能

均方誤差（ MSE，Mean Squared Error ）

MSE 用來度量模型預測值和實際觀察值之間的平均誤差的指標
MSE越小，表示模型的預測越準確
數學公式
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Ctext%7BMSE%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20(X_i%20-%20%5Cbar%7BX%7D_i)%5E2$

n 是資料點的數量
$X_i$ 是實際觀察到的目標值
$\bar{X}_i$ 是模型預測的目標值

決定係數（ R²，R-squared ）

R² 用來度量模型對應變數的變異中可由自變數解釋部分所占的比例
R²的範圍從 0 到 1 ，越接近 1 模型越能解釋應變數的變異性
數學公式
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=R%5E2%20%3D%201%20-%20%5Cfrac%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20(y_i%20-%20%5Chat%7By%7D_i)%5E2%7D%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20(y_i%20-%20%5Cbar%7By%7D)%5E2%7D$

邏輯迴歸（ Logistic Regression ）

常用於解決二元分類問題的監督式機器學習算法
雖然名稱中包含"迴歸"（ Regression ）一詞，但其實邏輯迴歸用在分類，而不是迴歸
邏輯分布公式
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=P(Y%3D1%20%7C%20X%3Dx)%20%3D%20%5Cfrac%7Be%5E%7Bx'%5Cbeta%7D%7D%7B1%2B%20e%5E%7Bx'%5Cbeta%7D%7D$