在量子計算機中使用量子位元記錄數據，對這些數據進行計算操作其實就是對量子位元進行計算操作。回顧過往的經驗，在傳統計算機中可以使用二進制邏輯閘對二進制位元進行計算操作，我們將這個概念延伸到量子計算，我們稱執行量子位元計算操作的特定模組爲量子閘。

3.1 單位元量子閘

3.1.1 數學表示

數學上，通常用 的複數矩陣 來表示一個單位元的量子閘：

此外，由於量子力學基本假設規定了算子 「在量子計算中可以視作量子閘」爲酉矩陣「Unitary matrix」，即：

酉矩陣的特性，保證了當一個量子位元經過某個量子閘轉換後，得到的結果仍舊是一個符合歸一化條件的量子位元：

3.1.2 哈達馬閘（Hadamard gate）

哈達馬閘是量子計算中最常用的量子閘之一，可以將量子位元 轉換爲對應的疊加態：

單個量子位元上的哈達馬閘的可以寫成如下矩陣形式：

3.1.3 泡利-X閘（Pauli-X gate）

泡利-X閘，一般也簡寫爲 X閘，相當於量子計算中的邏輯反閘，可以將 反轉爲 ，將 反轉爲 ，數學表示爲如下矩陣：

3.1.4 泡利-Y閘（Pauli-Y gate）

泡利-Y閘則可以將 轉換爲 ，將 轉換爲 ，數學表示爲如下矩陣：

3.1.5 泡利-Z閘（Pauli-Z gate）

泡利-Z閘不會對 產生影響，但是會將 轉換爲 ，數學表示爲如下矩陣：

3.1.6 相位偏移閘（Phase shift gates）

相位偏移閘不會對 產生影響，但是會將 轉換爲 ，當 等於 時，相位偏移閘相當於泡利-Z閘，相位偏移閘的數學表示爲如下矩陣：

3.2 多量子位元

3.2.1 表示方法

現在，我們擴充量子位元的數量，對多個量子位元進行描述和分析。

在如下數學式中存在三個量子位元，通過類似的形式我們可以描述多個量子位元的綜合狀態：

爲了避免歧義，我們現在約定表達式中位於左邊的位元是處於更高位的位元；反之，位於右邊的位元是處於更低位的位元：

3.2.2 張量積形式

個量子位元 的綜合狀態可以成如下張量積形式：

通過觀察如下示例可以幫助了解張量積是如何有效的表示多個量子位元的綜合狀態的：

3.3 多位元量子閘

3.3.1 互換閘（Swap gate）

互換閘需要作用在兩個量子位元的綜合狀態上，用於交換兩個量子位元，它的矩陣形式如下：

3.3.2 受控閘（Controlled gates）

已有一個單位元量子閘 ，我們可以在 的基礎上構建一個作用在兩個量子位元上的受控閘 ：

如果受控閘 作用在量子位元 上，會根據 的狀態來決定是否對 進行 變換，如果 則對 進行 變換；如果 則不對 進行操作。

是量子計算中最爲常見的受控閘之一，它的矩陣形式如下：