3D 空間轉換

剛體變換 Rigid transformation 是由一個 3D 旋轉與 3D 位移表達：把一個3D空間的點 (x, y, z) ，先對於原點坐旋轉，再位移一段。我們可以用矩陣表示：

舉個例子，假使我們想要繞著 z 軸旋轉 30 度，那麼旋轉矩陣就會長得像以前數學課本裡變得那樣

以我們熟悉的2D平面旋轉再3D位移就會如下圖

而我們要表達相機在 3D 空間中的姿態，就可以透過一個3D旋轉和3D位移表達，也就是相機在3D空間中的位置和朝向。

齊次座標 (Homogeneous Coordinate)

前面介紹的投影和空間轉換的矩陣公式，都有一個相似的樣貌，先對 (x, y, z) 乘上一個矩陣，再加上一個向量矩陣，而齊次座標是一種更有效率的表達方式，可以用一個矩陣乘法，取代掉這個先乘後加的兩步驟。

概念上就是替原本的三維數據增加一個維度，比如說我們可以把 (x, y, z) 補上 1，寫成：

這樣原本的 3D 空間轉換就會變為，如果讀者把最右邊的矩陣乘法展開，就會發現跟原本的公式是一樣的都是對於 (x, y, z) 先做旋轉，再加上一個位移

因此我們可以用這個加上相機位置，剛剛 代表相機的姿態或轉換。同理，我們也可以把針孔投影寫成以下的形式

請注意，這邊與 3D 空間轉換有一點不同，我們自己新增的維度在經過計算之後不是 1，而這時候就要統一除以最後一個維度的值，讓最後一個維度變回 1，這就是齊次座標的定義。例如這裡真正的 ，才會與我們前面定義的相同。

齊次座標的功用還不只如此，還可以表達3D空間中的其他變化，例如放大縮小，Affine 轉換之類的。