筆者當初學習八點法時，能夠理解基本的算法與實作，但對於背後數學原理感到困惑，為什麼這樣做就對了呢？因此在這裡想要深入一些，不會追求能夠完整證明，但希望能提供一些數學直覺，幫助有同樣困惑的讀者。

試圖回答以下問題：

1. 為什麼 Essential matrix 的奇異值有兩個相同，一個為 0？
2. SVD 分解那一頓操作是在做什麼？
3. 為什麼可以從 Essential matrix 得出 R, t 四個可能解？

Essential matrix 的奇異值 (singluar values) 性質

上回說到，如果將 E 做 SVD 分解得到 ，其中 為正交矩陣、 是奇異值矩陣，會有兩個相同的奇異值，而第三個奇異值為 0，如下：

也就是說 E 的 rank 為 2，這裡我們試圖解釋這個性質。

我們要回到 Essential matrix 的定義：

1. 是一個 skew-symmetric 矩陣，rank 為 2。
2. 是一個旋轉矩陣，正交，且 。

一個 rank = 2 的矩陣與正交矩陣相乘，得到的矩陣 rank 也是 2，解釋了為何其中一個奇異值為 0。

的特徵值是 的奇異值 (singular values) 平方，而

直接把中間的部分展開：

我們知道一個矩陣的 trace 是所有特徵值的和

因為 有外積的性質，而 的兩個不為 0 的特徵值代表的是在兩個正交方向的 scaling，因此兩個特徵值相同，且等於 。