1. 基準模型：持續性模型 (Persistence Model)

建立一個簡單的基準模型對於評估複雜模型的性能至關重要。持續性模型假設下一個時間點的值與當前時間點的值相同。

prediction(t+1) = observation(t)

這個模型的 RMSE (均方根誤差) 可以作為一個比較的基準。

2. 經典線性模型

• 隨機漫步 (Random Walk): $x_t = x_{t-1} + w_t$，其中 $w_t$ 是白噪音。模型假設當前值等於上一個值加上一個隨機步長。這是非定態的。

• 自我迴歸模型 (Autoregressive Model, AR(p)):

  • 概念: 用序列過去 p 期的值來預測當前值。
  • 公式: $x_t = \sum_{i=1}^{p} \alpha_i x_{t-i} + w_t$
  • 階數 p: 通常參考 PACF 圖，在第 p 期後截斷。

• 移動平均模型 (Moving Average Model, MA(q)):

  • 概念: 用過去 q 期的預測誤差 (白噪音) 來預測當前值。
  • 公式: $x_t = w_t + \sum_{i=1}^{q} \beta_i w_{t-i}$
  • 階數 q: 通常參考 ACF 圖，在第 q 期後截斷。

• ARIMA 模型 (Autoregressive Integrated Moving Average):

  • 概念: 結合了 AR 和 MA 模型，並透過差分 (Differencing) 來處理非定態序列。
  • 參數 (p, d, q):
    • p: AR 模型的階數。
    • d: 使序列變為定態所需的差分次數。
    • q: MA 模型的階數。

3. 波動率模型：ARCH 與 GARCH

金融時間序列（如報酬率）常表現出波動率群聚 (volatility clustering) 的現象：即大波動後面跟著大波動，小波動後面跟著小波動。這意味著序列的變異數是隨時間變化的，稱為條件異質變異數 (Conditional Heteroskedasticity)。

• ARCH 模型 (Autoregressive Conditional Heteroskedastic):

  • 概念: 用過去殘差的平方來為當前的變異數建模。它是一個應用於變異數的 AR 模型。
  • 適用時機: 如果一個模型的殘差平方序列的 ACF 圖顯示出自我相關性，則可能適合使用 ARCH 模型。

• GARCH 模型 (Generalized ARCH):

  • 概念: ARCH 的推廣，是應用於變異數的 ARMA 模型。它同時考慮了過去的變異數和過去的殘差平方。
  • 公式 (GARCH(1,1)): $\sigma^2_t = \alpha_0 + \alpha_1 \epsilon^2_{t-1} + \beta_1 \sigma^2_{t-1}$
  • 應用: GARCH 模型在金融領域被廣泛用於風險管理和衍生品定價。