上次我們講完在空間上，我們可以知道資料的區域性，並且利用 convolution 來萃取特徵。
這次我們來講時間，其實不一定要是"時間"序列資料，只要是有先後順序的資料就可以。
在時間序列分析及統計的領域中，我們有基礎的馬可夫模型（Markov chain）。
馬可夫模型是這樣的，他假設一個變數有不同種的狀態，例如下圖：
在這邊有4個狀態，一個圓圈代表一個狀態，狀態跟狀態之間會隨著時間改變，每個狀態會有一定機率變成其他狀態，或是維持原本的狀態不變。
我們可以把目前的狀態用一個向量來表達：
注意：我們這邊使用的向量為列向量（row vector），一般在其他數學領域使用的則是行向量（column vector），兩者是可以藉由轉置來互換的，並不影響運算結果
我們這邊用 代表他是可以被觀察到的。狀態變化我們可以用一個矩陣來表達：
其中 代表的是由狀態 i 變成狀態 j 的機率，這邊要注意的是，每一個列（row）的機率總和要是 1。
由於我們的向量都是 row vector，A 為一 right stochastic matrix，運算形式為 。
由狀態 i 變成其他狀態之機率和為 1（）。
所以不同時間點的狀態變化關係可以寫成以下式子：
的意思是第 t 次（或是時間為 t）的狀態，
狀態會經過一次轉換或是運算轉變成
。
如果你把其中的第一項的運算拆開來看就會長這樣，可以自行檢驗狀態的變化：
從時間軸上來看，我們可以把狀態的轉變畫出來像是這樣：
每次的轉變我們都可以看成一個函數 f，他其實等同於上面提到的矩陣：
所以他的意思是， 會經由 f 變成
，所以這是單純的狀態變化。
上面的矩陣當中其實內容是機率，我們也可以把他轉成機率的寫法，但是解釋會變得不太一樣：
這邊的解釋是， 會經由 f 變成
的機率。
下句跟上句的不同在於，上句的描述是肯定的，他只描述了狀態的改變，但是下句多加描述了 這件事會發生的機率，所以應該要把 理解成 這一件事，那麼 f 的輸出就是機率了。
我們可以把上圖 收起來，所以看起來會像這樣：
花了點時間把一些符號跟數學概念講完了，來談談他的假設，一般來說，馬可夫模型最大的假設在於：
也就是要預測第 t 單位時間的狀態，我們經歷了第 1~(t - 1) 單位時間，但是他只需要用前一個時間單位的狀態就可以預測下一個狀態，前面很多狀態都是不必要的，這我們稱為一階馬可夫模型（first-order Markov chain）。
當然可以推廣到 m 階馬可夫模型（m th-order Markov chain），那代表需要前 m 個狀態來預測下一個狀態，順帶一提，有零階馬可夫模型，那就跟我們一般的機率分佈模型（）一樣。
沒有特別提的話，通常大家談的馬可夫模型都是一階馬可夫模型。一般來說，他有個非常重要的特性，就是 無記憶性，也就是他不會去記住他所經歷的狀態，他只需要用現在的狀態就可以預測下一個狀態。
不過我要特別提一下這個模型的一些其他假設：
接下來我們來談談另一個模型。
接下來是進階版的隱馬可夫模型（hidden Markov model），他的假設是這樣的，在一個系統中存在一些我們看不到的狀態，是系統的內在狀態，隨著系統的內在狀態不同，他所表現出來的外在狀態也不同，而外在狀態是我們可以觀測到的。
大家可以看到這個圖跟剛剛的很相似，帶是又多了一些東西。較大的圈圈是內在狀態，小的圈圈是外在狀態。隨著時間改變，內在狀態會隨著變動，內在狀態的變動我們可以用一個矩陣來表示：
裏面裝的一樣是機率。接下來，不同的內在狀態有不同的機率會噴出（emit）外在狀態，這也會用另一個矩陣表示：
寫成狀態轉移的關係式的話會變成：
代表在第 t 單位時間的內在狀態。
代表在第 t 單位時間根據內在狀態噴出的外在狀態。
如果在時間軸上表達的話是這個樣子：
由於在這邊又多了一個內在狀態，所以在模型的表達力上遠遠超越馬可夫模型。舉個例子好了，假設小明很好奇在不同天氣的時候外面的人吃冰淇淋的狀況是如何，但是小明又很懶得出門看天氣，這時候他就假設天氣（晴天、陰天、雨天）是內在狀態（看不到），然後他觀察路上的人吃冰淇淋（外在狀態，吃、不吃）的多寡，這時候這麼模型就可以派上用場，他藉由持續觀察路人有沒有吃冰淇淋，可以推論外面天氣的變化狀況。
這時候我們也來總結一下，這個模型的假設：
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