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第 11 屆 iThome 鐵人賽

DAY 16
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AI & Data

連接數學與現實世界的橋樑 -- 數學建模系列 第 16

Day 16 : 可以表現過程演變的模型 -- 動態模型

很多現實生活中的問題都跟時間有關,也可說是時間的函數,例如空間飛行、化學反應、種族增長、投資、汙染控制和運動控制等,都是廣泛應用動態模型的領域之一。這一部分我們將介紹動態模型重要的建模概念,如狀態空間、平衡態和穩定性。

首先,我們從一個簡單的例子開始,並輔以建模五步驟,來建立問題的動態模型。

範例

有一片林區,有兩種樹種,硬材樹與軟材樹。硬材樹的價值高但生長慢,軟材樹生長快;硬材樹有著高度的優勢,遮擋小樹陽光,更抗疾病,而軟材樹靠著有效消耗水分與土壤養分與硬材樹競爭。試問這兩種樹是否可無限期共存,亦或是一種樹迫使另一種是滅絕。

在一開始所做的假設要盡可能的簡單但不可忽略問題最基本的方面,隨後才逐步改進或複雜化這個模型。
1. 提出問題
https://ithelp.ithome.com.tw/upload/images/20190917/20119600FOQdcX2DYd.jpg
https://ithelp.ithome.com.tw/upload/images/20190917/20119600qGUiaWC6Sj.jpg
2. 選擇模型方法
將問題建立成一個定常態的動態模型,定常態是指系統處於平衡點時,所有的變化率為0,亦即作用在系統上的全部影響達到平衡。因為達到平衡,未來的任何時刻系統都處於現在的狀態。
設函數
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=f_%7B1%7D(x_1%2C%20%5Cdots%2C%20x_n)
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Cdots
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=f_n(x_1%2C%20%5Cdots%2C%20x_n)
定義在https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=R%5En的子集https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=S上,函數https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=f_1%2C%20%5Cdots%2C%20f_n分別表示每個變量https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_1%2C%20%5Cdots%2C%20x_n的變化率。若在點https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=(x_1%2C%20%5Cdots%2C%20x_n)時,
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=f_1(x_1%2C%20%5Cdots%2C%20x_n)%20%3D%200
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Cdots
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=f_n(x_1%2C%20%5Cdots%2C%20x_n)%20%3D%200
則稱集合https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=S中的這一點為平衡點,也就是說,每個變量https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_1%2C%20%5Cdots%2C%20x_n的變化率為0,系統處於靜止狀態。https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_1%2C%20%5Cdots%2C%20x_n稱為狀態變數,https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=S為狀態空間。因為函數https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=f_1%2C%20%5Cdots%2C%20f_n僅依賴系統的當前狀態https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=(x_1%2C%20%5Cdots%2C%20x_n),所以當前狀態完全確定系統的將來,而與過去無關。
3. 推導數學模型的數學表達式
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_1%20%3D%20H, https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_2%20%3D%20S,狀態空間:https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Cleft%20%7B%20(x_1%2C%20x_2)%20%7C%20x_1%20%5Cge%200%2C%20x_2%20%5Cge%200%20%5Cright%20%7D
定常態方程式為
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=r_%7B1%7Dx_1%20-%20a_%7B1%7Dx_%7B1%7D%5E2%20-%20b_%7B1%7Dx_%7B1%7Dx_%7B2%7D%20%3D%200
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=r_%7B2%7Dx_2%20-%20a_%7B2%7Dx_%7B2%7D%5E2%20-%20b_%7B2%7Dx_%7B1%7Dx_%7B2%7D%20%3D%200
4. 求解模型
從步驟三的方程組可以解得四個點,如下圖
https://ithelp.ithome.com.tw/upload/images/20190918/201196004MH2vbpaBi.jpg
5. 表達分析結果
若要共存其條件為,每種樹達到限制自己增長的點之前,便已達到它限制另一種樹增長的點。


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