iT邦幫忙

第 11 屆 iThome 鐵人賽

DAY 17
1
AI & Data

連接數學與現實世界的橋樑 -- 數學建模系列 第 17

Day 17 : 動態模型之一 -- 連續型動力系統

動力系統模型是最普遍應用的動態模型,透過微分方程來描述力的變化。在這會介紹兩種動力系統,連續型與離散型,兩者的差異僅為https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Cfrac%7B%5CDelta%20x%7D%7B%5CDelta%20t%7Dhttps://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D。因此,這兩種系統的特性大致上是相同的,只不過離散型的系統因微分的緣故會存在時間的遲滯,遲滯的時間為https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5CDelta%20t

範例

討論藍鯨與長鬚鯨的生存競爭,藍鯨的增長率為每年5%,長鬚鯨為每年8%。環境可以支持的鯨魚最大數量估計為藍鯨150000條,長鬚鯨為400000條,在過去100年的肆意捕撈使鯨魚數量減少,藍鯨約為5000條,長鬚鯨約為70000條,試問藍鯨是否會滅絕。

  1. 提出問題與假設
    變量:
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=B = 藍鯨的數量
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=F = 長鬚鯨的數量
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=g_B = 藍鯨的增長率(每年)
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=g_F = 長鬚鯨的增長率(每年)
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=c_B = 藍鯨競爭的影響(每年鯨魚數)
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=c_F = 長鬚鯨競爭的影響(每年鯨魚數)
    假設:
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=g_B%20%3D%200.05B(1%20-%20B%2F150000)
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=g_F%20%3D%200.08F(1%20-%20F%2F400000)
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=c_B%20%3D%20c_F%20%3D%20%5Calpha%20BF
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=B%20%5Cge%200, https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=F%20%5Cge%200, https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Calpha為正實數
    目標:
    確認動力系統是否能從https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=B%20%3D%205000, https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=F%20%3D%2070000開始達到穩定的平衡態
  2. 選擇建模方法
    一個動力系統包含https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=n個狀態變量https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=(x_1%2C%20%5Cdots%2C%20x_n)和一個微分方程組
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Cfrac%7Bdx_1%7D%7Bdt%7D%20%3D%20f_%7B1%7D(x_1%2C%20%5Cdots%2C%20x_n)
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Cdots
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Cfrac%7Bdx_n%7D%7Bdt%7D%20%3D%20f_%7Bn%7D(x_1%2C%20%5Cdots%2C%20x_n)
    狀態變數與微分方程組定義在狀態空間https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=(x_1%2C%20%5Cdots%2C%20x_n)%20%5Cin%20S上,其中https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=Shttps://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=R%5En的一個子集。
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=f_1%2C%20%5Cdots%20%2C%20f_n在點https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_0%20%3D%20(x_%7B1%7D%5E0%2C%20%5Cdots%20%2Cx_%7Bn%7D%5E0)的一個鄰域內存在連續的一階偏導數,則此方程組存在通過此點的唯一解(解的存在性與唯一性定理)。
    我們可以把動力系統的一個解看做是狀態空間中的一條軌跡線,只要可微性假設成立就存在除平衡點外不相交,且通過每個點的軌跡線。

    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Cbar%20X%20%3D%20(x_1%2C%20%5Cdots%2C%20x_n) , https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=F(%5Cbar%20X)%20%3D%20(f_1(%5Cbar%20X)%2C%20%5Cdots%2C%20f_n(%5Cbar%20X))
    則動力系統方程可表示為
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Cfrac%7Bd%5Cbar%20X%7D%7Bdt%7D%20%3D%20F(%5Cbar%20X)
    對每一條軌跡線https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Cbar%20X(t),導數https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Cfrac%7Bd%20%5Cbar%20X%7D%7Bdt%7D表示速度向量,https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=F(%5Cbar%20X(t))即為每點的速度向量。向量場https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=F(%5Cbar%20X)呈現了在整個狀態空間中的運動的方向與快慢。
  3. 推導模型的數學表達式
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_1%20%3D%20B, https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_2%20%3D%20F,記
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_1'%20%3D%20f_1(x_1%2C%20x_2)
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_2'%20%3D%20f_2(x_1%2C%20x_2)
    其中
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=f_1(x_1%2C%20x_2)%20%3D%200.05x_%7B1%7D(1%20-%20%5Cfrac%7Bx_1%7D%7B150000%7D)%20-%20%5Calpha%20x_%7B1%7Dx_%7B2%7D
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=f_2(x_1%2C%20x_2)%20%3D%200.08x_%7B2%7D(1%20-%20%5Cfrac%7Bx_2%7D%7B400000%7D)%20-%20%5Calpha%20x_%7B1%7Dx_%7B2%7D
    狀態空間: https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=S%20%3D%20%5Cleft%20%7B(x_1%2C%20x_2)%20%7C%20x_1%20%5Cge%200%2C%20x_2%20%5Cge%200%20%5Cright%7D
  4. 求解模型
    我們透過圖解的方式畫出問題的一個向量場圖,平衡態為https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=f_1%2C%20f_2的交集。
    https://ithelp.ithome.com.tw/upload/images/20190919/20119600njHT9qYlvw.jpg
  5. 總結分析結果
    基於分析結果,只要停止捕撈,鯨魚將恢復到天然水平,生態系統將保持穩定。

上一篇
Day 16 : 可以表現過程演變的模型 -- 動態模型
下一篇
Day 18 : 動力系統模型之二 -- 離散型動力系統
系列文
連接數學與現實世界的橋樑 -- 數學建模30

尚未有邦友留言

立即登入留言