第六篇我們要對之前提過的 AR model (AutoRegressive model) 做一個延伸，那就是「VAR (Vector Autoregression model)，向量自迴歸模型」！

為什麼要延伸介紹它呢？
這是因為原本的 AR model 只能處理單變量時間序列，而 VAR 可以容納大於 1 個變量，所以適用於處理「多變量時間序列 (multivariate time series)」，更貼近實務需求！

向量自迴歸模型的起源

• 由 Christopher Albert 於 1980 年提出，用於宏觀經濟的實證研究，分析經濟如何受到政策的臨時改變和其他因素的影響等。
• 隨著能夠搜集的資料越多、環境越複雜，多變量時間序列分析的情境需求增加，t 個時間間隔中，任一時間間隔所要觀測的樣本變量從 1 個增加到了 N 個。
• 原本的自迴歸模型無法考慮到變量間的影響關係，因此延伸出以矩陣形式表達多變量時間序列關係的向量自迴歸模型。

雖然向量自迴歸模型是一個進化版，但相比現今非線性模型，如樹迴歸模型、遞歸神經網絡家族等，向量自迴歸主要還是線性方法，對於變化更複雜的時間序列就還是有很多優化空間了。

從 AR 到 VAR

還記得我們說過自迴歸模型是，假設當前時間點數值與過去時間點存在一線性關係。
那延伸到 VAR，就是將原本的單變量，改以矩陣表示多變量的自迴歸係數，用以下公式表示：

其中：

• y 表示在時間點 t 時的觀測值
• A 表示向量自迴歸模型的係數矩陣
• c 表示截距值
• epsilon 表示誤差值

實際把矩陣寫出來，以時間序列中有 2 個變量的 VAR(1) 為例：
（VAR(p)，p=1，當前時間與過去前 1 個時間點的線性關係表達式）

多變量時間序列相關套件

有什麼套件能夠幫助我們建立 VAR model 呢？ 當然不能不提到 python package 中的統計愛用包：statsmodels

from statsmodels.tsa.api import VAR

除此之外，做完整的時間序列分析，不能少了「平穩性檢測（Stationarity Check）」以及擬合程度指標，常用的例如： AIC (Akaike information criterion)、RMSE (Root-Mean-Squared Error)

from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
from statsmodels.tools.eval_measures import rmse, aic

下一篇我們就可以來實際走過一遍，如何用 Python 進行多變量時間序列預測。

資料來源：

• Sims, Christopher Albert
• 时间序列分析 | 向量自回归模型