[QPE] 有 QFT 的 QPE

2023 iThome 鐵人賽

DAY 2

自我挑戰組

不嚴謹的量子計算雜談系列第 2 篇

15th鐵人賽量子計算

bwl

2023-09-11 08:34:47

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今天要介紹第一個系列：Quantum Phase Estimation (QPE)，的第一個演算法：QPE with QFT (Quantum Fourier Transformation，量子傅立葉轉換)。這裡對於 QFT 不會詳加介紹，有興趣的讀者可以參考第一天的學習資源 (尤其是 QCQI 的第五章)。由於這是 QPE 系列的第一篇，我們先看看什麼是 QPE 以及為什麼 QPE 很重要。

我們知道，量子態 (quantum state) 的演化 (evolution) 經由么正算子 (unitary operator；這裡我們將 operator 和 matrix 視為同一概念，因此以下將以 unitary matrix 稱之) 進行。令 $U$ 為我們感興趣的 unitary matrix，而 $|u\rangle$ 為 $U$ 的一個特徵向量 (eigenvector)，滿足：

$U|u\rangle = \exp(2\pi i\theta)|u\rangle.$

( $|u\rangle$ 是稱為 ket 的量子態表示法，細節請參考 QCQI。) QPE 的目標就是獲得實數 $\theta$ 的資訊！( $U$ 、 $|u\rangle$ 和 $\theta$ 的定義沿用至下兩篇文章。)

為什麼我們對 QPE 感興趣？舉例來說，著名的 Shor's factoring 演算法和 HHL 演算法都用到了 QPE 演算法作為 subroutine！(夠重要了吧？)

QPE with QFT 應該是最常見的一種 phase estimation 演算法，它的概念非常優雅簡潔，主要分成四階段：(如附圖；圖來源：QCQI, p. 223)

準備 uniform superposition
使用 controlled- $U^{j}$
逆量子傅立葉轉換 (= Inverse QFT = IQFT)
測量

從上圖我們看到，這個系統的量子暫存器 (quantum register) 分為兩部分：上半部的 $|0\rangle$ ，用來儲存 phase $\theta$ ( $|0\rangle = |0^{\otimes d}\rangle$ ， $d$ 是 $\theta$ 的精確度；本演算法使 $|0\rangle \to |\tilde{\theta}\rangle$ )，有人將此暫存器稱為 clock register；下半部的 $|u\rangle$ 用來儲存特徵向量。

雖然 QPE with QFT 在演算法層面很簡潔，而且非常實用 (三種演算法中，唯一可以直接估計疊加態的 phase)，但是在當前的 (2023 年) 的量子電腦上難以實現：因為相應的量子電路的深度太大 (深度 = 最大串聯量子閘數；深度大導致量子閘的錯誤不斷累積)，而且所需要的量子位元 (qubit) 會隨著精確度的要求而增長！明天要介紹的 Iterative QPE 正有著減小深度及 qubit 的優勢。敬請期待！