使用布絡赫球「Block-Sphere」模型能夠更加直觀的展示量子位元的狀態，下面我們來推導一下單個量子位元的布絡赫球模型數學式。

2.1 布絡赫球模型

如下圖所示，有一個繪製在三維空間中的球體，球面上的每一個點到球心的距離都是單位長度1。 另外有一個經過球心的單位向量用以描述量子態 ，該向量與 軸的夾角為 ，在 平面上的投影與 軸的夾角為 ：

布絡赫球模型在 上的分量：

2.2 開始推導公式

任意單量子位元可以寫作如下形式：

其中 是複數，由於 用來表示量子位元，因此滿足歸一化條件：

使用二維複向量形式表示量子位元：

引入球座標系 來表示複向量：

由歸一化條件 可以得到：

因此，我們也可以將 与 寫作如下形式：

其中 。

使用球座標系重新書寫複向量：

根據歐拉公式我們還可以將其寫作如下形式：

在描述單個量子位元時，我們可以使用標準化方法來簡化其複向量，我們將 除上一個 ，並讓 ：

由於我們描述的是單個獨立的量子位元的狀態，因此上述標準化操作僅會影響到參照系描述而並不會對量子狀態本身造成改變。

此時，我們可以再次使用歐拉公式將複向量進行展開：

對照之前公式 的複數向量定義：

我們將 幾個分量做如下設定：

轉換複向量 得到布絡赫球的分量 ：

轉換複向量 得到布絡赫球的分量 ：

轉換複向量 得到布絡赫球的分量 ：

至此，我們已經轉換並得到了如公式 所示的 在布絡赫球模型中的 分量：

2.3 合併公式

我們已經得到了公式 ，然而這三個公式是在我們對 進行了標準化操作 的前提下推導出來的，這意味着當我們需要將一個新的量子位元投影到布絡赫球模型上時還需要先進行標準化，再進行 的公式變換。爲了簡化操作，我們可以將標準化公式 與投影轉換公式 進行合併，使得變換操作更加直接。

我們直接將球座標變換後的複向量 列出，這次我們不做標準化而是直接展開：

對照之前公式 的複數向量定義：

此時 這四個分量可以定義爲：

轉換複向量 得到布絡赫球的分量 ：

轉換複向量 得到布絡赫球的分量 ：

轉換複向量 得到布絡赫球的分量 ：