🌟 從生活學線性規劃：警察排班與公司存錢兩個小故事

👮‍♀️ 故事一：警察局怎麼排班最省人？

🧩 情境

克拉克郡警局每天 24 小時都要有人值班。
一個班 8 小時，有六個開始時間：

早上 8 點、中午、下午 4 點、晚上 8 點、半夜、凌晨 4 點

每位警察上一班（8 小時）會剛好覆蓋兩個 4 小時時段。
例如：早上 8 點上班 → 會管「8~12」和「12~16」這兩段。

🚨 各時段至少要有的人數

💡 問題

要怎麼安排每個時段開始的警察人數，
讓每個時段都夠人、但整體用最少警察？

🧠 想法

• 設 x₁ = 早上 8 點上班的人數
• x₂ = 中午上班的人數
• x₃ = 下午 4 點上班的人數
• x₄ = 晚上 8 點上班的人數
• x₅ = 半夜上班的人數
• x₆ = 凌晨 4 點上班的人數

每個 4 小時時段都要有夠多警察，
所以要符合下面的條件：

x₁ + x₆ ≥ 5 (816) x₃ + x₂ ≥ 10 (1624) x₅ + x₄ ≥ 4 (08)

🔹 第一條：x₁ + x₆ ≥ 5 （8~12）

意思是：「早上 8 點上班的警察」和「凌晨 4 點上班的警察」會一起負責早上 8~12 這段時間。

👉 至少要有 5 個人值班，
所以這兩批加起來要 ≥ 5。

🔹 第二條：x₃ + x₂ ≥ 10 （16~20）

意思是：「下午 4 點上班」跟「中午上班」的人一起負責下午 4~8 點這段。

👉 這段最忙（例如下班時段），
所以要至少 10 人同時在崗位上。

🔹 第三條：x₅ + x₄ ≥ 4 （0~4）

意思是：「半夜上班」和「晚上 8 點上班」的警察一起負責半夜 0~4 點。

👉 這段是夜深人靜時，只需要少一點人，
所以要 ≥ 4。

💡 一句話總結

每一條像「x₁ + x₆ ≥ 5」
其實就是在說：「這段時間要夠人上班」。

因為一個班 8 小時，所以相鄰兩班會同時覆蓋某段時段。
我們用這些式子確保：

任何一個時段都有人在、而且不缺人！

🎯 目標

想讓「總人數」最少：

最少化 Z = x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ + x₆

📊 生活理解

這題的重點是：

怎麼「重疊班」讓人數剛好夠用，不浪費。

有點像開便利商店：

一個人上 8 小時，可以支援兩個時段，
怎麼排最少店員又不缺人？

💰 故事二：霍克斯公司要準備未來六年的錢

🧩 情境

霍克斯公司被法院要求，
要準備一筆錢來支付接下來 6 年的款項（單位：千美元）：

💡 可投資方式

公司有三種選擇：

1. 放銀行（利率 4%）
2. 買債券1（報酬率 6.75%，3年到期）
3. 買債券2（報酬率 5.125%，4年到期）

目標是要知道：

一開始最少要準備多少錢（期初資金），
才能每年都付得出來。

🧠 想法

這題就像在問：

「我現在要存多少錢，才可以每年支出固定金額，利息剛好補上？」

舉例：

• 第一年要拿 190 千
• 第二年要拿 215 千
• 之後每年還要再付
• 錢可以放銀行生利息，或買債券賺更多

所以要建立一個數學關係：

下一年的錢 = 今年剩下的錢 × (1+利率) + 債券收益 - 支出

🎯 目標

找出最小的期初金額 F
讓這筆錢在 6 年內都不會用完。

📈 延伸思考

這題在真實世界很常見：

• 🏦 公司要規劃現金流
• 👩‍🏫 學校基金會要分配獎學金
• 👨‍👩‍👧‍👦 家庭要存退休金

核心概念都是：「讓錢剛剛好夠用，不多準備也不會短缺。」

🧩 小結

💬 最簡單一句話理解

線性規劃（LP）就是在「有限的條件下，讓資源分配最划算」。