上一篇介紹了 Sobel 和 Prewitt。

它們都是利用不同方向的 Kernel，估計圖片的 Gradient（亮度變化）。

也就是說，它們真正回答的是亮度改變得有多快？

那如果，今天不是想知道亮度變化有多大，而是想知道亮度的變化是不是突然改變了，要怎麼做？

這就要提到我們今天要討論的 Laplacian（拉普拉斯算子）。

回顧 Sobel

假設有一排 Pixel：

10 20 30 40 50

每往右一格，亮度都增加 10，變化非常規律。

Sobel 看到的是：

10 10 10 10

也就是每一步的亮度變化都一樣。

那如果亮度突然改變呢？

再看另一個例子：

10 20 30 150 160

原本增加得很平穩，結果突然跳到 150。

這代表亮度的變化不再平滑，而是在某個位置突然變大。

Laplacian 關心的，就是這種：

變化本身發生改變的位置。

因此，它特別容易對圖片中的邊界產生反應。

Laplacian 不分方向

Sobel 需要分成：

• X 方向
• Y 方向

因為它要知道亮度往哪個方向改變。

Laplacian 則不同，它直接觀察周圍所有 Pixel。

因此，它本身沒有 X 和 Y 的區分。

這也是它和 Sobel 最大的不同之一。

Laplacian Kernel

最常見的 Laplacian Kernel 之一：

0  -1   0

-1  4  -1

0  -1   0

也有人使用：

-1 -1 -1

-1  8 -1

-1 -1 -1

兩個都是 Laplacian，只是考慮的鄰近 Pixel 範圍不同。

共同點都是中心 Pixel 會和周圍 Pixel 做比較。

如果差異很大，輸出就會變得很大。

Laplacian 為什麼容易找到邊緣？

假設圖片有一塊很大的灰色區域：

100 100 100

100 100 100

100 100 100

中心和周圍幾乎沒有差別。

因此 Laplacian 的輸出接近 0。

但是如果剛好在黑白交界：

20 20 20

20 200 200

20 200 200

中心 Pixel 和周圍差異突然變得很大，Laplacian 就會得到很大的回應。

因此，圖片中的邊緣會變得特別明顯。

實作：使用 Laplacian

OpenCV 已經提供 Laplacian：

import cv2
import matplotlib.pyplot as plt

img = cv2.imread("dog.jpeg", cv2.IMREAD_GRAYSCALE)

lap = cv2.Laplacian(img, cv2.CV_64F)

印出結果：

plt.figure(figsize=(10,4))

plt.subplot(1,2,1)
plt.imshow(img, cmap="gray")
plt.title("Original")
plt.axis("off")

plt.subplot(1,2,2)
plt.imshow(cv2.convertScaleAbs(lap), cmap="gray")
plt.title("Laplacian")
plt.axis("off")

plt.tight_layout()
plt.show()

結果如下：

可以發現，圖片中只有亮度變化劇烈的位置特別明顯。

其他區域大多接近黑色。

Laplacian 的缺點

剛剛我們提到，Laplacian 對亮度變化非常敏感。

但雜訊本身也是一種劇烈變化。

因此，如果圖片中有很多雜訊，Laplacian 很容易把它們一起放大。

所以在實際應用時，通常會先使用 Gaussian Filter。

降低雜訊之後再進行 Laplacian。

這也是很多影像處理流程會先做平滑，再做邊緣偵測的原因。

Sobel 和 Laplacian 的比較

這兩個都能幫助我們找到圖片中的邊界。

只是觀察的角度不同。

今天總結

從 Sobel、Prewitt 到今天的 Laplacian。

我們看到三種不同的方法來分析圖片中的亮度變化。

Sobel 和 Prewitt 透過不同方向的 Kernel，估計亮度變化的大小。

而 Laplacian 更進一步，它觀察的是 亮度變化本身是否突然改變。

但是，就算用了 Sobel 或 Laplacian。

最後得到的結果，通常還是會有很多不必要的邊緣。

有沒有一種方法可以把前面介紹的 Gaussian Filter、Gradient、以及邊緣篩選全部結合在一起？

答案是肯定的，就是我們明天要介紹的 Canny Edge Detector。

它也是目前最經典、最廣泛使用的邊緣偵測方法之一。