前面介紹的影像處理方法，大多都是直接操作圖片本身。

例如：

• Convolution
• Gaussian Filter
• Threshold
• Morphology

它們都是直接修改 Pixel 的數值。

但其實在影像處理中，還有另一種完全不同的分析方式。

它是先把圖片轉換成另一種表示方式，再進行分析。

這就是今天要介紹的 Fourier Transform（傅立葉轉換）。

Fourier Transform 到底是在做什麼？

第一次看到「傅立葉轉換」這個名詞，也是在工程數學。

當時看到數學公式真的會暈頭轉向。

但同樣的，如果先不看公式，先看傅立葉在幹嘛的話，會發現它其實是在回答一個很有趣的問題：

這張圖片，是由哪些不同快慢的變化組成的？

圖片也有「頻率」？

在影像中，頻率是指亮度變化的快慢。

例如：

一張天空的照片。

大部分區域都是藍色，亮度變化很小，它就是低頻資訊。

相反，如果是一張報紙，文字、邊緣和細線很多，亮度會一直快速改變，這就是高頻資訊。

所以，Frequency 其實就是在描述：

圖片中的亮度改變得有多快。

為什麼要分析頻率？

那既然圖片本來就看得到。

為什麼還要分析頻率？

原因是，有些資訊，在頻域裡反而更容易處理。

例如：

如果今天想保留圖片的大致輪廓，就可以保留低頻。

如果想強調文字、紋理或邊緣，高頻資訊就會變得很重要。

很多影像處理的方法其實就是利用這個特性完成的。

Fourier Transform 在做什麼？

Fourier Transform 可以把圖片從原本的表示方式。

轉換到另一個叫做頻域 （Frequency Domain）的空間。

原本的圖片，每一個 Pixel 代表的是亮度。

轉換之後，每一個位置代表的，則是某一種頻率。

也就是說，傅立葉轉換並沒有改變圖片，只是換了一種方式描述它。

就像同一首歌可以用五線譜表示，也可以用簡譜表示。

歌曲沒有變，只是表示方法不同。

圖片也是一樣的意思。

實作：第一個 Fourier Transform

NumPy 提供了傅立葉轉換的函式。

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

img = cv2.imread("dog.jpeg", cv2.IMREAD_GRAYSCALE)

# Fourier Transform
f = np.fft.fft2(img)

# 把低頻移到中心
fshift = np.fft.fftshift(f)

# 計算頻譜
magnitude = np.log(np.abs(fshift) + 1)

接著把結果畫出來。

plt.figure(figsize=(10,4))

plt.subplot(1,2,1)
plt.imshow(img, cmap="gray")
plt.title("Original")
plt.axis("off")

plt.subplot(1,2,2)
plt.imshow(magnitude, cmap="gray")
plt.title("Magnitude Spectrum")
plt.axis("off")

plt.tight_layout()
plt.show()

結果如下：

這不是程式寫錯。

你可能會問，為什麼這兩張圖長得完全不一樣卻不是寫錯。

這是因為它顯示的不是物體，而是圖片中的頻率分布。

通常會看到中央最亮，代表圖片中大部分都是低頻資訊。

越靠近四周，則代表越高的頻率。

今天總結

今天介紹了 Fourier Transform。

和前面直接修改 Pixel 的方法不同，傅立葉轉換並不是改變圖片，而是把圖片換一種方式表示。

在空間域中，我們觀察的是每個 Pixel 的亮度，而在頻域中，我們分析的是圖片中不同頻率的組成。

不過，到目前為止，我們只是成功把圖片轉換到頻域。

那麼問題來了：

如果圖片很大，每次都直接做傅立葉轉換，速度會變得非常慢。

有沒有方法，可以在得到相同結果的前提下，大幅減少計算時間？

下一篇，我們就來介紹 Fast Fourier Transform（FFT），看看它是如何讓傅立葉轉換變得更有效率。