建立直覺

題目

小實驗：請問一粒果凍豆的平均重量是多少公克？請回答你的 90% CI。

請寫下你的範圍，並運用相等賭局做測試。再想一想這個範圍為什麼是合理的，包括正反雙方的意見，然後對上、下限都做定錨測試。

開始抽樣

1

接下來我們抽出第一顆果凍豆，重點是 1.4 公克。

這會改變你的 90% CI 嗎？更新後的 CI 是什麼？

2

再下一個樣本是 1.5 公克。你會重新更新你的 CI 嗎？

3

接下來我們一口氣抽出三個隨機樣本：1.4 公克、1.6 公克、1.1 公克

請更新 CI。

4

最後再抽三個：1.5 公克、0.9 公克、1.7 公克。

至此有 8 個樣本。請決定最後的 CI。

討論

就算第一次寫了極寬的範圍，每次獲得新資料以後，範圍通常都會縮小一次。

作者的實測中，最初範圍最窄的是 1~3 公克，而最寬的是 0.5~50 公克。

提出 0.5~50 公克的受測者，在「第一個樣本」出現後，將範圍變成 0.5~6 公克。

最後，這袋果凍豆的實際平均約為 1.45 公克。

作者建議大家可以常常進行類似的練習，在不依賴「正規統計學」的情況下，進行主觀的估計，培養估算的直覺。

教科書作法

接著針對同一個問題，在教科書裡有一個數學式的作法，可以針對「樣本數很少」的情況，來進行小樣本的統計。

接下來我們選出果凍豆的前 5 個樣本：1.4, 1.4, 1.5, 1.6, 1.1 來進行。

此方法稱為 t 統計量 (t-statistic)，在樣本數少於 30 的情況下，分配的形狀會比常態分配平坦、寬長，而樣本數超過 30 以後，t 統計的形狀和常態分配一樣。

以下是一個計算母體平均 90% CI 的固定程序：

1. 計算樣本的「變異數」。也就是對於每個樣本的變異程度予以數量化
   1. 計算樣本的平均 (1.4 + 1.4 + 1.5 + 1.6 + 1.1) / 5 = 1.4
   2. 每個樣本減去這個平均，每個結果作平方
      • (1.4 - 1.4)^2 = 0
      • (1.5 - 1.4)^2 = 00.1
      • (1.6 - 1.4)^2 = 00.4
      • (1.1 - 1.4)^2 = 00.9
   3. 將所有的平方加總後，除以樣本數減 1
      (0 + 0 + 0.01 + 0.04 + 0.09) / (5 - 1) = 0.035
2. 將樣本變異數除以樣本數，再將結果開平方根 SQRT(0.035 / 5) ⇒ 0.0837
3. 從 t 分配模型中找到樣本數 5 的分數 → 2.13
4. 將 t 分配量乘以步驟 2 的答案 2.13 x 0.0837 = 0.178，這是樣本誤差
5. 將平均加上樣本誤差，就得到 90% CI 上限，減去誤差則得到下限 1.222~ 1.578

如此一來只需要 5 個樣本，就獲得一個 1.22~ 1.58 的範圍。

討論：主觀方法 v.s. 客觀方法

在最初的果凍豆實驗中，作者邀請受測者用主觀的方法直覺估算，這些受測者都受過校準估計，

• 最保守的估計者得到的範圍是：0.5~2.4
• 最有信心的人的範圍是：1～1.7
• 而 t 分配的範圍是：1.22~1.58

教科書的作法雖然較為客觀，但在此想討論的是，主觀方法也頗有效。多做一些數學，只是比靠校準估計進一步降低誤差。

總結

• 當你有很大的不確定性時，少量的樣本就能大幅降低不確定性，尤其是當母體是相對同質性時
• 在某些案例中，校準的估計者即使只靠一個樣本，也能降低不確定性
• 校準估計者雖然比較保守，但卻是合理的。多做一些數學能更進一步降低不確定性

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今天押線交啦～～