[QSP / QSVT] Quantum Singular Value Transformation (QSVT)

2023 iThome 鐵人賽

DAY 13

自我挑戰組

不嚴謹的量子計算雜談系列第 13 篇

15th鐵人賽量子計算

bwl

2023-09-22 08:57:20

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[QSP / QSVT] Quantum Singular Value Transformation (QSVT)

過了將近一半的時間，終於迎來這次鐵人賽最重要的主題：QSVT 了！簡單複習一下，QSP 可以對一 $2\times 2$ 矩陣 (相當於一個 qubit) 進行多項式轉換，而我們感興趣的是該矩陣的左上角元素：一個實數 $a$ (或是說經多項式 $P$ 轉換後的 $P(a)$ )。

接著，當 QSP 結合 block-encoding 和 qubitization，我們可以將被多項式轉換的實數 $a$ 推廣到矩陣 $A$ ，而 QSVT 正是將 QSP 應用於轉換矩陣 $A$ 的奇異值。現在我們來正式定義 QSVT：

定理 (QSVT)：

給定一矩陣 $A = \sum_k \sigma_k|w_k\rangle\langle v_k|$ 的 block encoding $U$ ，對於奇多項式 $\text{Poly}$ 我們有：( $d$ 可視為多項式的次數 (degree))

其中

而 $\Pi_{\phi_k}$ 則是在 $\Pi$ 所投影到的空間進行 phase shift (旋轉)。對於偶多項式情況類似，為簡化起見在此省略。和 QSP 相同， $\vec\phi$ 是隨多項式 $\text{Poly}$ 變動的角度序列 (重要！ $\vec\phi$ 和 $A$ 或 $U$ 無關！)。