前言：接下來幾篇會是一些使用R語言來進行數學運算的內容！主要運用的範疇是統計學，其實也是因為曾經在某堂課有學到過，但那時候沒有實際應用到，因此這幾篇當作一個複習～（不會有人認為我在水章節吧）。那首先此篇要說明的是使用R語言計算單一母體平均數信賴區間估計。如果內容哪裡有錯誤的地方，請多多包容><～

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首先簡述一下單一母體平均數的信賴區間估計是一種統計方法，用來估計母體平均數的範圍，並在一定的信心水準下給出一個可能包含該母體平均數的區間。這個區間的上下限稱為「信賴上下限」，對應的區間稱為「信賴區間」，信賴區間反映了樣本數據對母體平均數的估計精確度。

範例程式碼

interval_estimate <- function(x, sigma = -1, alpha = 0.05) {
  n <- length(x)
  x.bar <- mean(x)
  if (sigma >= 0) {
    tmp <- sigma / sqrt(n) * qnorm(1 - alpha / 2)
    df <- n
  } else {
    tmp <- sd(x) / sqrt(n) * qt(1 - alpha / 2, n - 1)
    df <- n - 1
  }
  data.frame(mean = x.bar, df = df, lower.limit = x.bar - tmp, upper.limit = x.bar + tmp)
}
ex <- c(5900, 3500, 4500, 5200, 4800, 5200, 4900, 4000, 4700, 4900)
interval_estimate(ex)

程式碼說明

1. interval_estimate 函數的功能是基於樣本數據來估計均值的信賴區間，會根據是否已知母體標準差（sigma）來決定使用常態分佈或 t 分佈來進行計算。
   • x：樣本數據，這裡是ex中的數值。
   • sigma：母體標準差。默認值為 -1，表示母體標準差未知，因此使用樣本標準差來計算。
   • alpha：顯著性水平。默認是 0.05，表示 95% 的信賴區間。
2. 樣本均值與樣本大小
   • n <- length(x)：計算樣本數據 x 中的數據點個數，即樣本大小n。
   • x.bar <- mean(x)：計算樣本數據 x 的平均值，描述數據集中趨勢的位置。
3. 根據已知或未知的母體標準差 sigma，來計算信賴區間中的誤差項 tmp，並選擇適當的自由度 df。sigma 是否已知，會分別使用常態分佈或 t分佈來計算信賴區間。
   • 當 sigma >= 0（已知母體標準差），會使用常態分佈來計算信賴區間。公式如下：

tmp <- sigma / sqrt(n) * qnorm(1 - alpha / 2)
df <- n

• 當 sigma < 0（母體標準差未知），使用樣本標準差和 t分佈來計算信賴區間。公式如下：

tmp <- sd(x) / sqrt(n) * qt(1 - alpha / 2, n - 1)
df <- n - 1

4. 計算信賴區間
   • 使用均值 x.bar減去與加上誤差項 tmp 來計算置信區間的上下限，並將結果以 data.frame返回。

data.frame(mean = x.bar, df = df, lower.limit = x.bar - tmp, upper.limit = x.bar + tmp)

執行結果

輸出結果說明：結果將會是一個 data.frame，包含以下幾列：

• mean：樣本均值
• df：自由度
• lower.limit：信賴區間的下限
• upper.limit：信賴區間的上限