標準常態分配的平方

• 目標：欲驗證 $Y = Z^2$ 是否服從 $\chi^2(1)$ 分配，其中 $Z$ 為標準常態分配，即 $Z \sim N(0, 1)$。

如下圖，為隨機模擬 100 次 Y 所呈現的特性。由 bar plot 可看出 Y 為右尾分布，且其中位數、第一與第四四分位數都靠得很近，又有許多 outliers 點。以上表示模擬出來的資料分布集中，但也有許多資料過度遠離中心。由機率圖可得出初步判斷結論：Y 沒有符合標準常態分配。

卡方加卡方

假設有兩個隨機變數 X1 ~ chi^2(df1), X2 ~ chi^2(df2)，而隨機變數 Y = X1 + X2。理論上若 X1 與 X2 獨立，則 Y ~ chi^2(df1+df2)。此處呈現此理論在不同樣本數 n 下的分布情況。

下圖為 X1 ~ chi^2(df1=2), X2 ~ chi^2(df2=6) 之下，不同樣本數 n = 100, 1000, 10000 的直方圖，紅線為 Y ~ chi^2(df1+df2=8) 的 PDF 。發現隨 n 增加，直方圖越靠近 chi^2(8) 的 PDF，亦即越靠近理論上的兩獨立卡方相加後的分配。

Python 程式碼如下