挑戰完成1/3了~~~

本文開始前先分享一部作品吧～～!

TUTAT TUTTING IN TOKYO

在 Day 9 中，我們探討了**正向運動學（Forward Kinematics, FK)**如何透過設定每個關節的角度，逐層推算出末端的姿態。

今天，我們要了解另一個核心邏輯逆向運動學（Inverse Kinematics, IK）。

它的方向與 FK 相反，是從末端目標位置反推出其他關節角度，而這種運動邏輯在實際 Tutting 舞蹈中同樣非常重要。

什麼是逆向運動學（IK）

定義

已知末端的目標位置與姿態，反推計算各關節的角度與長度變化，使骨架達到該位置的過程。

簡單來說：

• 舞者先想好「手或手肘要放到哪個位置」
• 再讓身體自動找出一組合適的關節角度，完成動作

Tutting 舞蹈與 IK 的對應

現實舞者的動作順序

現實舞者的動作順序:
1.確定末端目標:例如：手掌與手指的框架要剛好貼住臉的邊線
2.調整末端位置:移動手掌到指定位置
3.自動修正其他關節:肘、肩、甚至脊椎會微調，以符合末端位置與造型的要求
4.完成最終姿態:末端位置正確，同時整體造型依然保持 Tutting 的幾何感

對應到數位化 IK 運動學的方式

1.設定目標座標與方向:在程式中輸入末端骨架（手掌、手指）的目標位置與朝向
2.IK 演算法開始運算:從末端節點開始，計算與目標位置的距離，嘗試拉近末端位置
3.反向與正向迭代調整：IK（使用FABRIK）依序調整上游關節，確保骨架長度與幾何結構保持不變
4.輸出新骨架角度：將計算後的每個關節角度更新至虛擬角色，生成最終姿態

確定末端目標
       ↓
設定目標座標與方向
       ↓
IK 演算法運算（FABRIK）
       ↓                 ↓
Backward pass       Forward pass
       ↓
迭代修正（誤差 < 閾值）
       ↓
輸出新骨架角度
       ↓
生成最終姿態

FABRIK（Forward And Backward Reaching IK）介紹

FABRIK 是一種高效率的 IK 演算法，由Andreas Aristidou 與 Joan Lasenby 於2011發表至Graphical Models 的論文，

透過前向與後向的反覆迭代，在目標點與骨架之間尋找合適的關節位置。
它的運算基礎不是直接計算角度，而是用「節點位置的調整」來求解，計算更穩定，收斂速度快。

流程：

設定目標：確定末端骨架（手掌/手指）要到達的座標位置與方向。

1.Backward pass（反向傳遞）
從末端開始，沿骨架向根部移動，調整每個關節位置，使它們與下一個關節保持原本的骨骼長度。

在 Tutting 中，這像是先把手放到指定位置，然後往回推手肘、肩膀的位置。

2.Forward pass（正向傳遞）

從根節點（肩膀）出發，沿骨架向末端推進，確保骨骼長度與結構保持不變，同時逼近目標位置。

3.檢查誤差：如果末端位置距離目標小於設定閾值，結束運算；否則重複步驟 2 和 3。

function fabrikIK(selectedJoint, targetX, targetY){
    let maxIterations = 5000; // 最大迭代次數
    let tolerance = 1; // 允許誤差
    // 設定目標關節的位置
    joints[selectedJoint].x = targetX;
    joints[selectedJoint].y = targetY;
    
    for (let i = 0; i < maxIterations; i++) {
        //**Forward Reaching (正向傳播)**
        skeleton[selectedJoint].FP.forEach(([startJoint, endJoint, length], index) => {
            joints[endJoint] = reachTowards(joints[startJoint], joints[endJoint], length);
        });
        
        //**固定末點，不讓它移動**
        joints[skeleton[selectedJoint].BP[0][0]] = { x: skeleton[selectedJoint].FX.x, y: skeleton[selectedJoint].FX.y };
        
        // //**Backward Reaching (逆向傳播)**
        skeleton[selectedJoint].BP.forEach(([startJoint, endJoint, length], index) => {
            joints[endJoint] = reachTowards(joints[startJoint], joints[endJoint], length);
        });
        // **收斂條件**
        let dx = joints[selectedJoint].x - targetX;
        let dy = joints[selectedJoint].y - targetY;
        if (Math.sqrt(dx * dx + dy * dy) < tolerance) {
            break;
        }
    }
}

在 Tutting 模擬中的好處：

• 能快速求解複雜手臂姿態：適合舞蹈動作中快速變換的框架。
• 容易加入幾何限制：可套用 Tutting 特有的「框線對齊」、「垂直/水平」等造型條件。
• 穩定性高：減少 IK 演算法常見的角度爆炸（gimbal lock）或抖動問題。

結論

最基礎的兩種運動學模式已建立完畢!但舞蹈中有許許多多複雜的動作存在，下一篇將來盤點會出現在Tutting舞蹈中的特殊案例吧~

參考資料：

1.http://www.cs.sjsu.edu/faculty/pollett/masters/Semesters/Spring18/ujjawal/FABRIK-Presentation.pdf
2.http://www.andreasaristidou.com/publications/papers/FABRIK.pdf