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第 11 屆 iThome 鐵人賽

DAY 19
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AI & Data

連接數學與現實世界的橋樑 -- 數學建模系列 第 19

Day 19 : 動態模型的特徵值分析法

接下來我們將介紹應用於分析連續和離散時間動力系統的技巧。當一個動態模型是線性時,我們可以獲得精確的解析解,然而,現實生活中,線性動力系統幾乎不存在,但多數的系統至少在局部上可以被線性系統逼近,這就提供了動態建模分析技巧的基礎。

範例

延續第16天的範例,假設硬材樹的年增率為10%,軟材樹為25%,而一英畝的林地可以提供約10000噸的硬木和6000噸的軟木,競爭程度未從數據上確定。試問兩種類型的樹能否共存於一個穩定的平衡態。

  1. 提出問題
    https://ithelp.ithome.com.tw/upload/images/20190920/20119600ZKCD1D37n8.jpg
    https://ithelp.ithome.com.tw/upload/images/20190920/20119600vk8AtMNcFV.jpg
    根據本例的已知條件,我們可得
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=r_1%20%3D%200.10
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=r_2%20%3D%200.25
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=a_1%20%3D%20%5Cfrac%7B0.1%7D%7B10000%7D
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=a_2%20%3D%20%5Cfrac%7B0.25%7D%7B6000%7D
  2. 選擇建模方式
    假設有一個動力系統https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x'%20%3D%20F(x),其中https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x%20%3D%20(x_1%2C%20%5Cdots%2C%20x_n)是狀態空間https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=S%20%5Csubseteq%20%5Cmathbb%20R%5En的一個元素,而且https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=F%20%3D%20(f_1%2C%20%5Cdots%2C%20f_n)。存在一個點https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_0%20%5Cin%20S是一個平衡態,若且為若,https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=F(x_0)%20%3D%200
    特徵值法判斷平衡點的穩定與否,是利用多變量導數矩陣的特徵值做判別。如果矩陣https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=Ahttps://ithelp.ithome.com.tw/upload/images/20190921/201196004yzjKjvu0L.jpg
    的特徵值全都有負實部,則平衡點https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_0是漸進穩定,若有一個特徵值有正實部,則這個平衡點是不穩定的,對其他情況(純虛部特徵值),這種檢驗方式則無法判定。
  3. 推導數學模型的數學表達式
    由第16天的推導可知,在點
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_1%20%3D%20%5Cfrac%7Br_1%20a_2%20-%20r_2%20b_1%7D%7Ba_1%20a_2%20-%20b_1%20b_2%7D
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_2%20%3D%20%5Cfrac%7Br_2%20a_1%20-%20r_1%20b_2%7D%7Ba_1%20a_2%20-%20b_1%20b_2%7D
    已知條件已給定https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=a_1%2C%20a_2%2C%20r_1%2C%20r_2的值,https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=b_1%2C%20b_2仍未知,因此假設https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=b_i%20%3C%20a_i,取https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=b_i%20%3D%20%5Cfrac%7Ba_i%7D%7B2%7D。則平衡點座標https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_0%20%3D%20(x_%7B1%7D%5E0%2C%20x_%7B2%7D%5E0),其中
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_%7B1%7D%5E0%20%3D%20%5Cfrac%7B28000%7D%7B3%7D%20%5Capprox%209333
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_%7B2%7D%5E0%20%3D%20%5Cfrac%7B4000%7D%7B3%7D%20%5Capprox%201333
    動力系統方程為https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x'%20%3D%20F(x),其中https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=F(f_1%2C%20f_2)
    https://ithelp.ithome.com.tw/upload/images/20190921/20119600wS1hbGbMlt.jpg
  4. 求解模型
    一階偏導數為
    https://ithelp.ithome.com.tw/upload/images/20190921/20119600bb9ATKWTcR.jpg
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_%7B1%7D%5E0%2C%20x_%7B2%7D%5E0的值帶入偏導數,可得矩陣A,
    https://ithelp.ithome.com.tw/upload/images/20190921/20119600VN9dK6ud87.jpg
    求矩陣A的特徵值,
    https://ithelp.ithome.com.tw/upload/images/20190921/20119600CaT5xgj6fk.jpg
    可得https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Clambda%20%3D%20%5Cfrac%7B-67%20%5Cpm%20%5Csqrt%7B1339%7D%7D%7B900%7D
    因為兩個特徵值都具有負實部,所以這個平衡態是穩定的。
  5. 表達分析結果
    基於兩樹種競爭程度相近的假設下,在每英畝約9300噸硬材樹與約1300噸的軟材樹中,兩物種是可以共存的。

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