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第 11 屆 iThome 鐵人賽

DAY 18
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AI & Data

連接數學與現實世界的橋樑 -- 數學建模系列 第 18

Day 18 : 動力系統模型之二 -- 離散型動力系統

延續昨天的討論,今天一樣用一個例子來介紹離散型的動力系統。

範例

太空人在訓練中被要求手動控制做對接演練,過程中被要求保持一個正在運行的太空船與另一個正在運行的太空船之相對速度。手動控制器提供了可變的加速度與減速度,並且在太空船上架設一個裝置,用來測量兩艘飛船的接近速度。建議的飛船對接策略如下:
首先觀察接近速度,若為0則完成對接,反之,記錄當下接近速度,再看加速度控制器,控制加速度使得與接近速度相反,且正比於這個值。經過一段時間,再觀察接近速度並重複上面步驟,試問在甚麼環境下這策略是有效的。

  1. 提出問題
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=v_n表示在時間https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=t_n所觀察到的接近速度,https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=t_n為第https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=n次觀察的時間,則https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5CDelta%20v_n%20%3D%20v_%7Bn%2B1%7D%20-%20v_n表示調整後得到的太空船接近速度的改變,而https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5CDelta%20t_n%20%3D%20t_%7Bn%2B1%7D%20-%20t_n為兩次觀測速度的間隔時間。時間區間可被分成兩個部分,1)調整速度控制器的時間和處於調整與下一次速度觀測間的時間,可記為https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5CDelta%20t_n%20%3D%20c_n%20%2B%20w_n%20,其中https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=c_n是調整控制器的時間,https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=w_n是下一次觀測之前的等待時間。記https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=a_n為第https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=n次調整後設定的加速度,由運動學公式可得,https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5CDelta%20v_n%20%3D%20a_%7Bn-1%7Dc_n%20%2B%20a_%7Bn%7D%20w_n,此外控制規則要求加速度需正比於https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=(-v_n),因此https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=a_n%20%3D%20-k%20v_n
    變量:
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=t_n = 第https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=n次觀測速度的時間(秒)
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=v_n = 第https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=t_n時刻的速度(公尺/秒)
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=c_n = 第https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=n次調整控制器的時間(秒)
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=a_n = 第https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=n次調整後的加速度(公尺/秒https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5E2)
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=w_n = 第https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=n%2B1次觀測前的等待時間(秒)
    假設:
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=t_%7Bn%2B1%7D%20%3D%20t_n%20%2B%20c_n%20%2B%20w_n
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=v_%7Bn%2B1%7D%20%3D%20v_n%20%2B%20a_%7Bn-1%7D%20c_n%20%2B%20a_%7Bn%7D%20w_n
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=a_n%20%3D%20-k%20v_n
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=c_n%20%3E%200
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=w_n%20%5Cge%200
    目標:
    確定是否有https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=v_n%20%5Crightarrow%200
  2. 選擇建模的方式
    一個離散時間的動力系統由若干個定義在狀態空間https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=S%20%5Csubseteq%20%5Cmathbb%20R%5En的狀態變數https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=(x_1%2C%20%5Cdots%2C%20x_n)和差分方程組
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5CDelta%20x_1%20%3D%20f_1(x_1%2C%20%5Cdots%2C%20x_n)
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Cdots
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5CDelta%20x_1%20%3D%20f_1(x_1%2C%20%5Cdots%2C%20x_n)
    所組成,其中https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5CDelta%20x_n表示在單位時間內https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_n的改變量。
    將整個方程組已向量的形式改寫,
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Cbar%20X%20%3D%20(x_1%2C%20%5Cdots%2C%20x_n)
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=F%20%3D%20(f_1%2C%20%5Cdots%2C%20f_n)
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5CDelta%20%5Cbar%20X%20%3D%20F(%5Cbar%20X)
    這差分方程的解危狀態空間的一系列點,
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Cbar%20X(0)%2C%20%5Cbar%20X(1)%2C%20%5Cdots
    且對所有的https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=n
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5CDelta%20%5Cbar%20X(n)%20%3D%20%5Cbar%20X(n%2B1)%20-%20%5Cbar%20X(n)%20%3D%20F(%5Cbar%20X(n))
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=F(%5Cbar%20X_0)%20%3D%200,則https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Cbar%20X_0為平衡點
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Cbar%20X%20(n)%20%5Crightarrow%20%5Cbar%20X_%7B0%7D,則平衡態是穩定的。
  3. 模型推導
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=(v_%7Bn%2B1%7D%20-%20v_n)%20%3D%20-k%20v_%7Bn-1%7D%20c_n%20-%20k%20v_%7Bn%7D%20c_n%20

    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Cbar%20X_%7B1%7D%20(n)%20%3D%20v_n
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Cbar%20X_%7B2%7D%20(n)%20%3D%20v_%7Bn-1%7D
    計算
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5CDelta%20%5Cbar%20X_%7B1%7D%20%3D%20-%20k%20w%20%5Cbar%20X_%7B1%7D%20-%20k%20c%20%5Cbar%20X_%7B2%7D
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5CDelta%20%5Cbar%20X_%7B2%7D%20%20%3D%20%5Cbar%20X_1%20-%20%5Cbar%20X_2%20
  4. 求解模型

    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5CDelta%20%5Cbar%20X_%7B1%7D%20%3D%200
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5CDelta%20%5Cbar%20X_%7B2%7D%20%3D%200
    可以得出向量場https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=F(%5Cbar%20X)%20%3D%20(-%20k%20w%20%5Cbar%20X_%7B1%7D%20-%20k%20c%20%5Cbar%20X_%7B2%7D%2C%20%5Cbar%20X_%7B1%7D%20-%20%5Cbar%20X_%7B2%7D),圖示如下。如果https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=k, https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=c,https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=w很大,則平衡態可能不穩定
    https://ithelp.ithome.com.tw/upload/images/20190919/20119600yw6TQzmWqC.jpg
  5. 闡述結果
    只要控制器調整的不是太劇烈,則控制策略將起作用

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