Day 20 : 離散系統的特徵值方法

第 11 屆 iThome 鐵人賽

DAY 20

AI & Data

連接數學與現實世界的橋樑 -- 數學建模系列第 20 篇

11th鐵人賽離散動力系統

spidyjames

2019-09-21 21:48:52

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繼續來介紹如何處理離散動力系統，主要的概念還是透過線性逼近，並結合特徵值算法。

這邊我們重新考慮第18天的例子，

範例

假設需要5分鐘進行控制調整，外加10分鐘從其他工作切換到觀察速度指示器。在這些條件下調整速度的策略會成功嗎。

提出問題
變量:
$t_n$ = 第 $n$ 次觀測速度的時間(秒)
$v_n$ = 第 $t_n$ 時刻的速度(公尺/秒)
$c_n$ = 第 $n$ 次調整控制器的時間(秒)
$a_n$ = 第 $n$ 次調整後的加速度(公尺/秒 $^2$ )
$w_n$ = 第 $n+1$ 次觀測前的等待時間(秒)
假設:
$t_{n+1} = t_n + c_n + w_n$
$v_{n+1} = v_n + a_{n-1} c_n + a_{n} w_n$
$a_n = -k v_n$
$c_n > 0$
$w_n \ge 0$
目標:
確定是否有 $v_n \rightarrow 0$
現在假設 $c_n = 5$ , $w_n = 10$ ，此時令 $k = 0.02$
選擇建模方法
給定一個離散時間的動力系統
$\Delta \chi = F(\chi)$
其中 $\chi = (x_1, \dots, x_n)$ 和 $F = (f_1, \dots, f_n)$ ，我們定義一個迭代函數
$G(\chi) = \chi + F(\chi)$
序列 $\chi(0), \chi(1), \chi(2), \dots$ 是差分方程組的解，若且為若對所有的 $n$ 有
$\chi(n+1) = G(\chi(n))$
即 $G(\chi_0) = \chi_0$ ，而 $\chi_0$ 為平衡點。
若偏導數矩陣

的每一個特徵值得絕對值小於1，則平衡點 $\chi_0$ 是(漸近)穩定的。
儘管 $G(\chi)$ 是非線性的，但在平衡點 $\chi_0$ 的鄰域內，仍有 $G(\chi) \approx A(\chi - \chi_0)$
推導數學模型
我們已有一個以 $\chi_0 = (0, 0)$ 為平衡態的線性系統，迭代函數是 $G(x_1, x_2) = \chi + F(x_1, x_2) = (g_1, g_2)$
其中
$g_1 (x_1, x_2) = 0.8x_1 - 0.1x_2$
$g_2(x_1, x_2) = x_1$
求解模型
計算特徵值

$\Rightarrow$ $\lambda^2 - 0.8\lambda + 0.1 = 0$
由此可得
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Clambda%20%3D%20%5Cfrac%7B4%5Cpm%5Csqrt%206%7D%7B10%7D$
兩個解都是實數且值皆在-1與1之間，因此此平衡態 $\chi_0 = 0$ 是穩定的
表達分析結果
5分鐘控制調整，10分鐘的工作轉換，此策略是成功的。