iT邦幫忙

第 11 屆 iThome 鐵人賽

DAY 20
0
AI & Data

連接數學與現實世界的橋樑 -- 數學建模系列 第 20

Day 20 : 離散系統的特徵值方法

繼續來介紹如何處理離散動力系統,主要的概念還是透過線性逼近,並結合特徵值算法。

這邊我們重新考慮第18天的例子,

範例

假設需要5分鐘進行控制調整,外加10分鐘從其他工作切換到觀察速度指示器。在這些條件下調整速度的策略會成功嗎。

  1. 提出問題
    變量:
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=t_n = 第https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=n次觀測速度的時間(秒)
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=v_n = 第https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=t_n時刻的速度(公尺/秒)
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=c_n = 第https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=n次調整控制器的時間(秒)
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=a_n = 第https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=n次調整後的加速度(公尺/秒https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5E2)
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=w_n = 第https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=n%2B1次觀測前的等待時間(秒)
    假設:
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=t_%7Bn%2B1%7D%20%3D%20t_n%20%2B%20c_n%20%2B%20w_n
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=v_%7Bn%2B1%7D%20%3D%20v_n%20%2B%20a_%7Bn-1%7D%20c_n%20%2B%20a_%7Bn%7D%20w_n
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=a_n%20%3D%20-k%20v_n
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=c_n%20%3E%200
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=w_n%20%5Cge%200
    目標:
    確定是否有https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=v_n%20%5Crightarrow%200
    現在假設https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=c_n%20%3D%205, https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=w_n%20%3D%2010,此時令https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=k%20%3D%200.02
  2. 選擇建模方法
    給定一個離散時間的動力系統
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5CDelta%20%5Cchi%20%3D%20F(%5Cchi)
    其中https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Cchi%20%3D%20(x_1%2C%20%5Cdots%2C%20x_n)https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=F%20%3D%20(f_1%2C%20%5Cdots%2C%20f_n),我們定義一個迭代函數
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=G(%5Cchi)%20%3D%20%5Cchi%20%2B%20F(%5Cchi)
    序列https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Cchi(0)%2C%20%5Cchi(1)%2C%20%5Cchi(2)%2C%20%5Cdots是差分方程組的解,若且為若對所有的https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=n
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Cchi(n%2B1)%20%3D%20G(%5Cchi(n))
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=G(%5Cchi_0)%20%3D%20%5Cchi_0,而https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Cchi_0為平衡點。
    若偏導數矩陣
    https://ithelp.ithome.com.tw/upload/images/20190921/20119600iSrfSlE41P.jpg
    的每一個特徵值得絕對值小於1,則平衡點https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Cchi_0是(漸近)穩定的。
    儘管https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=G(%5Cchi)是非線性的,但在平衡點https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Cchi_0的鄰域內,仍有https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=G(%5Cchi)%20%5Capprox%20A(%5Cchi%20-%20%5Cchi_0)
  3. 推導數學模型
    我們已有一個以https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Cchi_0%20%3D%20(0%2C%200)為平衡態的線性系統,迭代函數是https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=G(x_1%2C%20x_2)%20%3D%20%5Cchi%20%2B%20F(x_1%2C%20x_2)%20%3D%20(g_1%2C%20g_2)
    其中
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=g_1%20(x_1%2C%20x_2)%20%3D%200.8x_1%20-%200.1x_2
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=g_2(x_1%2C%20x_2)%20%3D%20x_1
  4. 求解模型
    計算特徵值
    https://ithelp.ithome.com.tw/upload/images/20190921/20119600IEZINgGwJa.jpg
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5CRightarrowhttps://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Clambda%5E2%20-%200.8%5Clambda%20%2B%200.1%20%3D%200
    由此可得
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Clambda%20%3D%20%5Cfrac%7B4%5Cpm%5Csqrt%206%7D%7B10%7D
    兩個解都是實數且值皆在-1與1之間,因此此平衡態https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Cchi_0%20%3D%200是穩定的
  5. 表達分析結果
    5分鐘控制調整,10分鐘的工作轉換,此策略是成功的。

上一篇
Day 19 : 動態模型的特徵值分析法
下一篇
Day 21 : 動力系統的圖解 -- 向量場圖
系列文
連接數學與現實世界的橋樑 -- 數學建模30

尚未有邦友留言

立即登入留言