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2021 iThome 鐵人賽

DAY 6
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自我挑戰組

開卷計劃:做一個高手夢系列 第 6

喚醒與生俱來的數學力 (4) 邏輯推論

終於到了尾聲,本書的最後 80 頁我看了 2 次,不太確定自己到底有沒有讀錯,總之就來努力摘要一下。

終盤的主題是:

  • 具體化
  • 逆向思考
  • 培養數學的美感 - 合理性、對稱性、一致性(結語)

過程中穿插各種高中數學與意想天開的舉例,最後的總結是:

  • 數學是一門建立在「看穿事物本質」之精神上的學問。
  • 但尚未被揭發的本質究竟躲在哪裡呢?⋯⋯遍尋不著時,大部分的人都會不自覺地往複雜的方向思考。在這種時候,不妨讓思緒回到最單純的狀態。
  • 當你認為自己發現了「本質」,但想確認它是不是真正的本質時,請檢視該本質是否可以用來統一說明大部分的情況。如果它只適用於特定情況,那肯定不是真正的本質。
  • 想要統一說明、甚至想讓說明愈簡單愈好的欲望,就是一種「非常數學」的思維。這樣的思維正是帶領我們看穿事物本質的最佳功臣。

具體化

要把一件事說清楚,需要「往返在具體與抽象之間」。

  • 整理、順序、轉換、抽象化等前半局的主題,目標是「提升說明能力」
  • 後半的目標是:「以邏輯性的方式進行推論」

透過邏輯性的方式,由己知情況推導出未知的兩種方法:

  • 演繹法:
    • 從適用全體的理論(假說),推導至個別狀況
    • 缺點:假說有誤、或套用範圍受限時,就可能會把假說套用在不適合的情況
  • 歸納法:
    • 從個別狀況推導出適用全體的理論
    • (也就是從多組具體實例中找出共通性質,再加以抽象化)
    • 缺點:無法驗證所有事例,或提出同等邏輯證明時,最後的抽象結論未必為真,要注意有機率的要素。

舉例說明:

  • 用一元二次方程式的解題過程舉例,直接套公式是演繹法,而從個案推導公式是歸納法。
  • 在開發產品的「調查-企劃-設計-試做-推銷」流程中,交替使用演繹/歸納,可發揮極大的力量。

逆向思考

數學的舉例:

  • 求「圖形面積」時,可以從全體扣除特定圖形,得到剩餘面積。
  • 機率型題目中,問幾種情況。例如「投擲 4 枚硬幣,至少有 1 枚是正面的機率是多少」
    • 此時要逐一考量時的計算比較麻煩
    • 而逆向思考可以從「全部為反面」的情況來計算,也就是差集的思考,算式為 1-[(1/2)^4] = 15/16

神奇的舉例 - 分析造成情緒的事件 - ABC 理論

  • 發生了某事件(A),就會產生情緒結果(C)
  • A 到 C 之間有 Belief 的運作,而 B 段又有理性/非理性的類型
  • 當 B 段為非理性思考時,要從中跳脫,需要進入第四段 Dispute,進行逆向思考,才能找回思考的彈性

在神奇的心理學案例後,進入了「逆向」的邏輯證明 XD

  • 「若 P 則 Q」的逆向有可能是⋯⋯
    • 若 Q 則 P (逆命題)- 前後互相對調
    • 非 P 則非 Q(否命題)- 前後不變,但分別改成否定
    • 非 Q 則非 P(對偶命題)- 前後互相對調,且分別改成否定
  • 白話文對照「如果努力沒有回報 (P),就不算是真正的努力 (Q)」
    • 若 Q 則 P (逆命題)- 若不是真正的努力 (Q),就不會得到回報 (P)
    • 非 P 則非 Q(否命題)- 如果努力得到了回報 (P'),就算是真正的努力 (Q')
    • 非 Q 則非 P(對偶命題)- 如果是真正的努力 (Q'),就一定會得到回報 (P')
  • 按照定義整理:

https://ithelp.ithome.com.tw/upload/images/20210921/20129237fiK47aJm3I.png

由於原命題和對偶命題的真偽完全一致(互為充要),因此最適合拿來進行逆向思考。(然後作者又畫了一次圖形來確定關係是「小→大」)

逆向思考的意義是,當原始命題難以判別真偽時(例如受到情緒影響時),可以改用對偶命題來思考。(接著展示了高中數學證明題⋯⋯)

本節最後還介紹了⋯

  • 反證
    • 先假設某命題不成立
    • 導出矛盾結果
  • 二律背反:
    • 互相矛盾的兩個命題同時成立
    • 例如「他是加害者也同時是受害者」
  • 當二律背反成立時,反證明就毫無用武之地,此時需要深入思考,因此進行邏輯思考時,需要具備辨識二律背反的能力。

數學的美感

由於已經到終章了,所以介紹幾個大原則:

  • 合理性 - 總之就是用自己的頭腦思考,培養出一顆能感受合理之美的心
  • 對稱性 - 活用美感,產生對稱,例如「數」和「圖形」的關聯
  • 一致性 - 美麗的公式與真理們

在說明「對稱性」的時候,作者用座標計算來說明。

然後最後用一個 Google 面試題,鼓勵大家要保持挑戰奇怪問題的好奇心。

END


其實本來想偷懶快速筆記的,但總覺得太省略會讓論述看起來很荒謬(啊是我那顆感受合理之美的心嗎),只好在連假的尾聲認真地做了筆記。

話說,因為我一直念念不忘中文書名「喚醒你與生俱來的數學力」,在閱讀過程中,我一直好奇「到底在【喚醒】什麼【數學力】呢?」本書下半場進入邏輯世界後,我對於「喚醒」那兩個字實在耿耿於懷。

最後覺得可能是翻譯書名太浮誇了,重新查了原文書名「根っからの文系のためのシンプル数学発想術」,不太確定日文的斷句邏輯,但應該比較像是「從文組角度而寫的簡單數學思考術」。

就說嘛!!!哪有「喚醒」那麼浮誇!!!!

嗯總之我的數學力應該還沉睡在地底三千呎,還沒醒來謝謝。不過這本書很好看,各位如果有什麼剛上高中的堂表弟妹們,可以考慮送這本書當成禮物。


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1 則留言

0
TD
iT邦新手 4 級 ‧ 2021-09-21 20:56:23

培養出一顆能感受合理之美的心

如果能夠欣賞數學之美,不用變得有多厲害也沒關係。

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是不是因為學校的關係,讓我們對於基本學科欣賞的能力都抹煞殆盡了呢?

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