前兩天我們已經認識了兩種 QPE 演算法；今天，終於要迎接 QPE 系列的壓軸演算法：Kitaev's phase estimation algorithm (以下簡稱 Kitaev's method)！

今天的主角和前兩天的演算法不太一樣，測量完並不是結束 — 還需要在古典計算環境作後處理。以下為 Kitaev's method 的演算法電路圖：

嗯？看起來和前天的 QPE with QFT 有點像？一點也不！注意看上半部的 quantum register 只包含一個 qubit，不像 QPE with QFT 的 clock register 隨精確度而增加 qubit 數量。好像和昨天的 IQPE 也有點像？沒錯！但是這裡的電路深度不會隨著 phase 的精確度而增加！

為了繼續看下去，我們需要先計算出經過上圖的電路，初始的量子態會變成什麼樣子：(以下只計算左邊方框內；右邊幾乎相同) (覺得熟悉嗎？和昨天 IQPE 的推導一樣！)

於是，測量第一個 qubit 而結果為 的機率是

利用類似的方法 (上圖右邊的方框)，我們可以得出測量機率和 之關係式。綜合測量機率與 、 之間的關係，我們可以得到

經過多次測量 (兩組各 次)，我們第一組測量共測量到 次 、第二組測量共測量到 次 。於是只要再經過後古典後處理 (計算 )，我們就能得到 phase 為

參考資料

• Kitaev’s Phase Estimation — QPE algorithms | Quantum Untangled (medium.com)
  • 同一作者的 Code
• [1910.11696] An Improved Implementation Approach for Quantum Phase Estimation on Quantum Computers (arxiv.org)
• lecture6.pdf (berkeley.edu)