利率

區分：

• 實質無風險利率
• 通貨膨脹溢價（實際無風險利率與通貨膨脹溢價總和為名目無風險利率。）
• 違約風險溢價
• 流動性溢價
• 到期溢價

貨幣的時間價值等於不同日期發生的現金流量。未來的現金流量必須以適當的利率折現以找到等值的現值。

利率可以被認為是「所需回報率」、「貼現率」或「機會成本」。它們是由儲戶的資金供給和借款人的資金需求之間的相互作用決定的。

計算利率“無風險利率”和任何適用的溢價之和，以補償各種風險：

r = r_f + M + I + L + D

• r_f：“實際無風險利率”，作為當今貸款而不是消費的補償。
• M：是願意長期放款的投資者所賺取的“到期溢價”，這需要承擔更大的利率風險。
• I：是“通貨膨脹溢價”，用於補償貸款人的預期通貨膨脹。將其與實際無風險利率相加就得到名目無風險利率。
• D：是貸方針對借款人無法按時足額履行義務的可能性收取的「違約風險溢價」。
• L：是“流動性溢價”，用於補償投資者將投資轉換為現金的額外成本。

單筆現金流的未來價值（一次性）

投資的未來價值由三個部分組成：

• 本金為原始投資金額
• 單利是本金賺取的利息
• 複利是再投資現金流的回報（或「利息」）

年度複利

FV_1 = PV(1 + r)
FV_{N} = PV(1 + r)^N

非年度複利（未來價值）

假設按年複利計算。然而，投資通常以規定的年利率報價，複利更為頻繁。在這些情況下，我們必須調整規定的年利率（r_s）以與每年的複利期數（m）一致：

FV_{N}=PV(1+\displaystyle\frac{r_{s}}{m})^{mN}

規定利率和實際利率

金融機構通常不會報出定期月利率，而是報出年利率，我們稱之為規定年利率或報價利率。
連續複利的 $N$ 年一次性付款的未來價值表達式為

FV_{N}=PVe^{r_{s}N}

規定年利率和「有效年利率（EAR）」之間的差異：

對於離散複合
EAR=(1+定期\利率\利率)^m-1
EAR=(1+\frac{r_s}{m})^m−1

用於連續複合
EAR=e^{r_{s}}−1

一系列現金流量的終值、年金終值

• 「年金」是指定數量的水平現金流量。
• 「普通年金」從現在開始一個時期，
• 「到期年金」立即開始。
• 「永續年金」是永無止境的現金流，第一筆現金流發生在一個時期內。

等額現金流－普通年金

年金的未來價值是每筆付款的未來價值總和。如果支付 N 筆金額為 A 的年金並以利率 r 累積，則未來值為：

FV_{N} = A [(1+r)^{N-1} + (1+r)^{N-2} + ... + (1+r)^{0}]
FV_{N} = A \Big[\displaystyle\frac{(1+r)^N-1}{r}\Big]

不平等的現金流

當現金流接近平衡時可以採取的捷徑；這些快捷方式將允許您結合年金和單期計算：

單筆現金流的PV（一次性）

年度複利

PV=FV_{N}(1+r)^{−N}

非年度複利

一般來說，一年內有多個複利期，我們可以將現值公式表示為：

PV=FV_{N}\Big(1+\frac{r_{s}}{m}\Big)^{−mN}

• m = 每年的複利期數
• r_{s} = 報價年利率
• N = 年數

系列現金流量的 PV

一系列等現金流量的 PV

普通年金

等額支付 A 的「普通年金」的現值為：

PV=\displaystyle\frac{A}{(1+r)}+\frac{A}{(1+r)^{2}}+\frac{A}{(1+r)^3} +…+\frac{A}{(1+r)^{N−1}}+\frac{A}{(1+r)^N}

• A = 年金金額
• r = 與年金支付頻率相對應的每期利率（例如每年、每季或每月）
• N = 年金支付次數

PV=A\displaystyle\Big[\frac{1−\frac{1}{(1+r)^N}}{r}\Big]

年金到期

「到期年金」類似於普通年金，只不過第一筆付款是立即收到的（$t=0$）。它可以被認為是一種普通年金，其中 $N−1$ 付款加上一次立即付款。例如，以下兩種付款是等價的：

1. 5年期普通年金加1次立即繳費
2. 6年年金到期。

永續年金（有水平付款）

「永續年金」是一種沒有期限的普通年金（第一次付款是在一個時期內）。永續性的例子：

• 股票的價值股息
• 某些政府債券
• 優先股

PV = A\sum_{t=1}^\infty{\frac{1}{(1+r)^t}}

只要利率為正，現值因子總和就會收斂，這裡僅適用於具有水平支付的永續年金。
PV=\frac{A}{r}

在 t = 0 以外的時間索引的 PV

在 t=0 以外的時間為指數的一種類型的 PV 是“遞延普通年金”，與普通年金類似，只是首次付款要在未來一年以上才支付。零時刻的現值可以分兩步驟計算：

1. 計算第一次付款前一個時期的現值。
2. 將此現值折現至時間零。

永續年金也可以在以後編制索引。考慮每年 100元 的永續年金水平，其首次付款從 t = 5 開始。

一系列不等現金流的PV

當我們的現金流量不等時，我們必須先找到每個現金流量的現值，然後將各自的現值相加。對於具有許多現金流量的系列，我們通常使用電子表格。

# 計算付款開始前的t
pv_4 = 100/0.05

# 計算t=0時的pv
pv_0 = pv_4/(1+0.05)**4

案例學習：
將年金建構成兩個具有相同、水平付款但起始日期不同的永續年金之間的差額。
給定 5% 的折現率，求從第一年開始每年100元的四年期普通年金的現值，作為2個級別永續年金之間的差額：

• 永續年金 1 從第 1 年開始每年付 100 元（首次付款於 t = 1）
• 永續年金 2 從第 5 年開始每年付 100 元（首次付款於 t = 5）

# pv1, t=0
pv1_0 = 100/0.05

# pv2, t=4
pv2_4 = 100/0.05
# pv2, t=0
pv2_0 = pv2_4/(1+0.05)**4

# pv 減去永續年金
pv = pv1_0 - pv2_0

print(pv)

# 計算 n=4 普通年金的 pv
r = 0.05
a = 100
n = 5-1
rate = 1-(1+r)**(-n)
pv = a*rate/r

print(pv)