機率

風險資產的回報是一個隨機變量，因為結果（可能的值）是不確定的。 「事件」是一組指定的結果。

使用三種方法來估計機率：

• 「主觀機率」是基於個人判斷。
• 「經驗機率」源自歷史資料的相對頻率。只有當關係隨著時間的推移保持穩定時，這才有效。它對於非常罕見的事件沒有用處。 （關係必須隨著時間的推移保持穩定，經驗機率才能準確。）
• 「先驗機率」是使用邏輯而不是觀察推導出來的。經驗機率和先驗機率都被認為是客觀的，因為它們通常對所有人來說都是相同的。

機率通常被表述為「賠率」。如果事件 $E$ 的機率為 $P(E)$，則賠率為：

$$賠率\ for\ E=\frac{P(E)}{1−P(E)}$$

• 「無條件機率」（又稱邊際機率）是基於所有可能性的宇宙。它們可以被認為是“獨立機率”。
• 「條件機率」限制了可能性的集合。這就是投資者吸收新資訊的方式。
• 「聯合機率」反映了兩個或多個結果發生的機率。 $P(AB)$表示A和B發生的機率。

條件機率：P(A | B)

$$P(A | B) = \frac{P(AB)}{P(B)}, P(B) ≠ 0$$

可以用代數運算上面的內容來導出機率的乘法規則。
$$P(AB)=P(A∣B)P(B)=P(BA)=P(B∣A)P(A)$$

聯合機率：P(AB)

機率乘法規則
A 和 B 的聯合機率可以表示為 $P(AB) = P(A | B)P(B)$

機率的加法規則

$$P(A 或 B) = P(A) + P(B) – P(AB)$$

或者

$$P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)$$

獨立

獨立與依賴

投資經理人及其客戶非常感興趣的一個領域是，過去的業績記錄是否有助於識別重複的贏家和輸家。從數學上講，事件 A 和 B 是獨立的，當且僅當 P(A∣B)=P(A) 或等效地，P(B∣A)=P(B)。對於獨立事件，P(AB)=P(A)P(B)。

獨立事件的乘法規則
$P(AB) = P(A)P(B)$

總機率規則
$P(A)=P(AS)+P(AS^C)=P(A|S)P(S)+P(A∣S^C)P(S^C)$

$P(A)=P(AS_1)+P(AS_2)+…+P(AS_n)=P(A|S_1)P(S_1)+P(A|S_2)P(S_2)+…+P(A |S_n)P(S_n)$

其中 $S_1, S_2, …, S_n$ 是互斥且詳盡的場景或事件。

$S$ 的補碼是 $S^C$。它表示事件 $S$ 沒有發生。其遵循$P(S)+P(S^C)=1$。此符號可用於定義總機率規則。

期望值（平均值）和方差

• 「期望值」是隨機變數可能結果的機率加權平均值。
• 「變異數」是隨機變數期望值的平方偏差的機率加權平均值。變異數越高表示隨機變數的離散程度越大。
• 標準差是變異數的正平方根。

$$E(X) = \displaystyle\sum_{i=1}^n{P(X_{i})X_{i}}$$

其中 $X_{i}$ 是 $X$ 的 $n$ 個可能結果之一

期望值的屬性

設 $w_{i}$ 為任意常數，$R_{i}$ 為隨機變數。

• 常數乘以隨機變數的期望值等於常數乘以隨機變數的期望值。

$E(w_{i}R_{i}) = w_{i}E(R_{i})$

• 隨機變數的加權和的期望值等於使用相同權重的期望值的加權和。

$$E(w_{1}R_{1}+w_{2}R_{2}+…+w_{n}R_{n})=w_{1}E(R_{1})+w_{2} E(R_{2})+…+w_{n}E(R_{n})$$

變異數和標準差

與$E(X)$相關的風險

$$Var(X)=\sigma^2(X)=E{[X−E(X)]^2}$$

（$X$ 的變異數是以 $X$ 的平方單位表示的數量。例如，如果隨機變數的回報率以百分比為單位，則回報率的變異數以平方百分比為單位。）

將變異數公式總結為：

$$\sigma^2(X)=P(X_{1})[X_{1}−E(X)]^2+P(X_{2})[X_{2}−E(X)]^ 2+…+P(X_{n})[X_{n}−E(X)]^2=\sum_{i=1}^n{P(X_{i})[X_{i}−E( X)]^2}$$

其中 $X_{i}$ 是隨機變數 $X$ 的 $n$ 個可能結果之一。

$σ^2(X)=E{[X−E(X)]^2}=\sum_{i=1}^n{{P(X_i)[X_i−E(X)]^2} }=E(X^2)−[E(X)]^2$

期望值和變異數的條件測量

條件期望值

「條件期望值」考慮新資訊或事件。這可用於定義期望值的總機率規則。

$$E(X)=E(X∣S_1)P(S_1)+E(X∣S_2)P(S_2)+…+E(X∣S_n)P(S_n)$$
也可以計算條件方差。

$E(X|S) = P(X_{1}|S)X_{1} + P(X_{2}|S)X_{2} + … + P(X_{n}|S)X_{n }$

$$E(X) = E(X|S_{1})P(S_{1}) + E(X|S_{2})P(S_{2}) + … + E(X|S_{n ) })P(S_{n})$$

其中 $S_1, S_2, …, S_n$ 是互斥且詳盡的場景或事件。

條件方差

1. 變異數與期望值一樣，有條件對應於無條件概念。
2. 我們可以使用條件方差來評估特定場景的風險。

*條件變異數和無條件變異數之間的關係將在後面的課程中繼續。

# 計算每股盈餘的 E(X)：將每個預測與其機率相乘
ev['weighted'] = ev['probability']*ev['EPS ($)']

expected = ev['weighted'].tolist()
ev=sum(expected)

# 計算方差
list1=[]
for i in range(len(ev['EPS ($)'])):
    diff = ev['EPS ($)'][i] - ev
    diff_sqr = diff**2
    eps = diff_sqr*ev['Probability'][i]
    list1.append（eps）

var_x=sum(list1)
print(var_x)

標準差比變異數更容易解釋，因為它與隨機變數的單位相同。

# 計算標準差
var_x**0.5

計算給定每種情況下變數 $X$ 的變異數：
$\sigma^2{(X|S)}$
$\sigma^2{(X|S^C)}$