上一篇介紹了 FFT。

現在，我們已經可以很快地把圖片從空間域轉換到頻域。

轉換到頻域之後，真正好玩的地方才正要開始。

如果今天我們可以自由決定哪些頻率要留下，哪些頻率要移除的話，圖片會發生什麼變化？

今天就先來看看最常見的一種方法：

Low-pass Filter（低通濾波器）。

還記得前面提到的頻率嗎？

在影像中，低頻通常代表圖片的大致輪廓，以及亮度變化比較平緩的區域。

高頻則代表邊緣、紋理、文字等亮度快速變化的細節。

Low-pass Filter 的概念很簡單：

保留低頻，移除高頻。

也就是說，圖片的大致內容會留下來。

但是許多細節會慢慢消失。

為什麼移除高頻會變模糊？

我們平常看到的許多細節。

其實都是高頻資訊。

例如：

• 文字
• 毛髮
• 邊緣
• 紋理
• 細線

這些地方的亮度變化都很快。

因此，當高頻被移除之後，圖片雖然還保留原本的輪廓，但細節卻會逐漸消失，看起來就像被模糊了一樣。

Low-pass Filter 是怎麼做的？

前面有提到，傅立葉轉換之後，頻譜中央代表低頻，靠近四周，則代表越高的頻率。

因此如果只保留中央區域，並將其他地方全部設成 0，就等於只保留低頻資訊。

完成之後，再利用反傅立葉轉換（Inverse Fourier Transform）從頻域轉回去空間域。

就可以重新得到一張高頻被移除的圖片。

實作：建立一個 Low-pass Filter

先和上一篇一樣，把圖片轉換到頻域。

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

img = cv2.imread("dog.jpeg", cv2.IMREAD_GRAYSCALE)

# Fourier Transform
f = np.fft.fft2(img)
fshift = np.fft.fftshift(f)

接著建立一個遮罩（Mask）。

rows, cols = img.shape
crow, ccol = rows // 2, cols // 2

mask = np.zeros((rows, cols), np.uint8)

radius = 50

y, x = np.ogrid[:rows, :cols]
area = (x - ccol) ** 2 + (y - crow) ** 2 <= radius ** 2

mask[area] = 1

這個遮罩代表只有中央圓形區域會被保留下來，其他高頻資訊全部移除。

接著把遮罩套用到頻譜：

filtered = fshift * mask

最後做反傅立葉轉換，讓圖片回到空間域。

# 移回原本位置
ishift = np.fft.ifftshift(filtered)

# Inverse Fourier Transform
result = np.fft.ifft2(ishift)

# 取絕對值
result = np.abs(result)

把結果畫出來。

plt.figure(figsize=(12, 4))

plt.subplot(1, 3, 1)
plt.imshow(img, cmap="gray")
plt.title("Original")
plt.axis("off")

plt.subplot(1, 3, 2)
plt.imshow(np.log(np.abs(filtered) + 1), cmap="gray")
plt.title("Low-pass Spectrum")
plt.axis("off")

plt.subplot(1, 3, 3)
plt.imshow(result, cmap="gray")
plt.title("Low-pass Result")
plt.axis("off")

plt.tight_layout()
plt.show()

結果如下：

可以發現，圖片的大致輪廓仍然存在，但是細節開始消失。

整張圖片變得比較柔和，也就是我們熟悉的模糊效果。

Low-pass Filter 和 Gaussian Blur 一樣嗎？

之前介紹過 Gaussian Filter。

現在又介紹 Low-pass Filter。

那它們是不是同一件事情？

其實，目的很接近，但做法不同。

Gaussian Filter 是直接在空間域操作 Pixel，利用 Kernel 和鄰近 Pixel 做 Convolution。

Low-pass Filter 則是在頻域操作，直接把高頻資訊移除，再轉回圖片。

最後都會得到模糊的效果，只是實現的方法不同。

今天總結

今天介紹了 Low-pass Filter。

它的核心概念，就是保留低頻、移除高頻，因此可以保留圖片的大致輪廓，同時讓許多細節消失。

也因為如此，Low-pass Filter 常被用來降低雜訊、平滑圖片，以及觀察影像中的整體結構。

不過，如果今天反過來思考，不要保留低頻，而是把低頻移除，只留下高頻，圖片又會變成什麼樣子？

下一篇，我們就來介紹 High-pass Filter（高通濾波器），看看只保留高頻資訊後，圖片會有哪些不同的變化。