前言

索引建好之後，今天要來理解檢索階段最核心的數學原理：向量之間的「相似度」到底是怎麼算出來的，以及為什麼大規模資料下不能用暴力比對。

向量相似度怎麼算？

最常見的三種距離/相似度計算方式：

1. 餘弦相似度（Cosine Similarity）

計算兩個向量之間的「夾角」，只關心方向是否相近，不受向量長度影響。數值介於 -1 到 1，越接近 1 代表越相似。

cosine_similarity(A, B) = (A · B) / (‖A‖ × ‖B‖)

這是 Embedding 檢索最常用的相似度指標，因為多數 Embedding 模型訓練時就是針對「方向」的語意相近性做優化。

2. 歐氏距離（Euclidean Distance）

計算兩點之間的直線距離，數值越小代表越相似。會同時受方向與長度影響。

3. 內積（Dot Product）

如果向量已經正規化（長度為 1），內積結果會等同於餘弦相似度，但計算量更小，因此在效能敏感的場景常被使用。

-- pgvector 支援的三種距離運算子
embedding <-> query_vector   -- 歐氏距離
embedding <#> query_vector   -- 負內積
embedding <=> query_vector   -- 餘弦距離

為什麼不能用暴力比對？

暴力比對（Brute-force）是指查詢時，把資料庫裡「每一筆」向量都跟查詢向量算一次距離，再排序取出最相近的 K 筆。

• 資料量小（例如幾千筆）：暴力比對速度可接受，實作也最簡單
• 資料量大（例如百萬筆以上）：每次查詢都要算幾百萬次距離，延遲會明顯上升，無法滿足即時互動的需求

ANN（近似最近鄰）演算法

為了解決大規模搜尋的效能問題，業界發展出 ANN（Approximate Nearest Neighbor，近似最近鄰） 演算法——犧牲一點點精準度（不保證找到絕對最相近的結果），換取大幅提升的查詢速度。

常見的 ANN 索引結構：

精準度 vs 速度的取捨

ANN 演算法通常會提供一些可調參數（例如 HNSW 的 ef_search），讓開發者在「查詢速度」與「召回精準度」之間做取捨：

-- 調整 HNSW 查詢時的搜尋範圍（數值越大越精準，但越慢）
SET hnsw.ef_search = 100;

實務上建議先用暴力比對建立一個「正確答案基準」，再調整 ANN 參數，確認在可接受的速度下，召回率沒有明顯下降。

小結

理解相似度計算與 ANN 索引的原理，能幫助我們在遇到「檢索結果怪怪的」問題時，知道該從哪個環節（距離公式選錯？索引參數不對？）開始排查。明天我們要動手實作第一個可以查詢的向量資料庫，把這幾天的理論串起來看看實際效果。