BE 題只連到行為投入，三個因素可以相關，其餘跨因素關係先固定為零。這樣的三因素模型，能否重現 ENGAGE-v1 的題目關聯？昨天的 EFA（探索性因素分析）提供候選與跨負荷警報；今天用驗證性因素分析（CFA，把理論寫成可被資料反駁的模型）把限制寫出來，再看資料在哪裡與它不一致。先理解哪些關係被允許、哪些被排除，才知道配適度在檢查什麼。
engage_model <- '
BE =~ BE01 + BE02 + BE03 + BE04
EE =~ EE01 + EE02 + EE03 + EE04
CE =~ CE01 + CE02 + CE03 + CE04
'
lavaan（R 的結構方程式套件）的 =~ 定義潛在因素與指標的量測關係。cfa() 還會處理尺度設定、殘差變異與因素共變等預設，所以短語法不表示只有三行假設。讀者要再核對估計方法、有序題目的宣告、缺失值處理、尺度識別與預設參數。
程式碼的用途是讓限制可重跑；它不能證明三構念理論，也不能顯示每個預設適合本資料。
先將圖 17-1 的前三區與三行 =~ 語法逐一對照：每行的一個因素，只連到同列四道題目。再看最下區的雙向箭頭，確認 BE、EE、CE 三組相關都可估計；缺少跨因素箭頭在這個模型中表示跨負荷固定為零。
圖 17-1：ENGAGE-v1 三因素 CFA 示意圖。前三區畫各因素與四道題目的量測關係，最下區重複呈現同一組因素的三組相關，沒有新增因素。單向箭頭表示量測模型假設，雙向箭頭表示允許因素相關；都不是因果證據。跨因素負荷與題目殘差相關固定為零；圖中省略殘差變異與尺度設定，未標估計值。
| 層 | ENGAGE-v1 CFA |
|---|---|
| 資料機制 | 12 題 ordinal responses 由三相關 factors 與 residuals 產生 |
| 目標 | 三因素 measurement model 的 loadings、factor correlations 與 model-data discrepancy |
| 假設 | 預定 zero cross-loadings、residual structure、尺度識別、estimator 與抽樣條件 |
| 可觀察量 | item thresholds／correlations、sample statistics |
| 估計規則 | 以適合 ordinal data 的 estimator 擬合 model-implied statistics，查看參數與 fit |
| 保證／限制 | 可評估限制是否與資料相容；fit 不證明構念、因果或效度 |
卡方檢定比較模型隱含結構與資料，在大樣本對小偏差敏感；CFI（比較配適指標）/TLI 相對 baseline 模型（model）；RMSEA（近似誤差均方根）處理近似 fit 與自由度；SRMR 摘要標準化殘差（residual）。它們不是四位評審投票，也沒有跨資料、模型與 estimator 永遠適用的神奇 cutoff。
我要求文章同時看 global fit（整體配適）、parameter plausibility、殘差 pattern、標準誤與理論。若因素相關（factor correlation）接近或超過合理範圍，即使 CFI 高也需問構念（construct）是否可區分；若某殘差大，先找題意或模型遺漏，不立刻加共變異數（covariance）。
將資料字典與三因素假說交給 Claude 時，除了 lavaan 語法，也要請它列出 cfa() 未寫在這三行中的預設。若回答直接用一般 ML，卻未說明五類反應如何處理，便少了一項分析決策。這種缺漏可作為語法審閱案例，不能只因程式能跑就算通過。
我修正任務：保留 continuous approximation 與 ordered-data 分支，正文不宣稱某 estimator 普遍最好；執行時明確列 ordered=items 與選定 estimator，保存版本。教師查核對照 lavaan 官方 CFA tutorial 與 categorical-data 文件，而不是只看程式沒有誤差（error）。
第一個候選是上述三因素。第二個候選把 12 題全部放進 general engagement。比較不是為了證明三因素「真」，而是問更嚴格的一因素限制是否留下系統 discrepancy。若一因素模型在 BE、EE、CE block 內出現一致殘差，而三因素減少這些 pattern，internal-structure evidence（內部結構、證據）較支持區分三面向。
接著檢查因素負荷量（loading）。假設 CE02 因素負荷量較低且有跨因素訊號。EFA 已預告它可能同時含認知與行為成分；CFA 的 zero cross-loading 會把這個張力表現為 misfit。可選方案包括修題、事前指定 cross-loading、改用較彈性模型，或保留限制並縮小結論。不能只選 fit 最漂亮的一個而不說改了什麼理論。
假設收到一份修改指標（modification indices, MI）清單，回答建議由大到小加入殘差共變，直到 CFI 過關。每增加一條參數，都在同一份資料上追逐配適度；若缺少題目措辭、時序或方法上的理由，就無法清楚解釋修改後的模型。這是要檢查的錯誤決策，不是自動調整模型的操作步驟。
本書的 rule 是：MI 只指出放鬆某限制可能改善 fit，不提供 substantive justification。新增參數要先寫原因，記錄是否事前預期，並在新資料或敏感度分析中檢查。若原因找不到，保留 failure 並縮小用途。
第二個 failure case（失敗案例）是模型 fit 良好就寫「construct validity established（構念、效度）」。CFA 只處理內部結構（internal structure）的一部分；Day 14 的內容、作答過程、外部關係與用途後果仍未完成。
潛在因素（latent factor）沒有天然尺度，常用固定第一個因素負荷量或因素變異數（factor variance）來設定。兩種參數化會改變未標準化數字的解釋，不應混報。若出現負殘差變異數（residual variance）、極端因素負荷量、巨大標準誤或因素相關 >1，不是把表格藏起來；先檢查資料、模型與識別，並記錄 Heywood case（負殘差變異的不合理解）。
可重現模型卡至少記錄資料版本、題目尺度、樣本與 missing、estimator、參數化、模型語法、套件版本、收斂狀態、主要參數、global fit、局部殘差、替代模型與事後修改。這些資訊讓另一位研究者知道我估了哪個模型，而不只是看到一排 CFI、TLI、RMSEA、SRMR。
我也把 standardized solution 和 unstandardized solution 分開。標準化因素負荷量方便同一模型內比較，未標準化參數保留尺度設定；不同標準化方法可能回答不同問題。若文章只截最漂亮的一欄，讀者無法重建參數化。
因素分數（factor score）本篇不作個人決策。即使測量模型（measurement model） fit 可接受，factor-score estimation 還有 indeterminacy、估計誤差與用途問題。班級教學示範可畫分布，但不得把估計分數當成無誤差的學生特質。這條限制會在 Day 26 學生版再次檢查。
最後，我保留一個最小 negative result：若一因素與三因素差異不明顯，不把「無顯著差異」寫成完全等價。可能是樣本資訊不足、因素（factor）高相關或 indicators（指標題目）太少。結論應落在目前資料對區分度的支持，而不是模型身份的永久判決。
原問題的答案是：CFA 把理論寫成一組可被資料挑戰的限制，fit 是診斷限制的資訊，不是理論認證。基礎閱讀是 lavaan 的 CFA tutorial；發展閱讀是測量模型、fit 與殘差 diagnosis；前沿閱讀可進 ESEM、Bayesian approximate zero 與 cross-validation。
圖 17-1 與三行語法共同界定了這個模型；一因素競爭例與修改指標規則則說明如何挑戰它。本篇沒有把示意圖當成估計結果。下一篇把同一模型帶到 A、B 群體：各群配適度都能接受，是否就足以比較平均數？
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