在此之前，我們所舉的例子都可以透過人工手算的方式求解，但是當方程式很複雜該怎麼辦，如

這時可以透過數值分析來幫助我們求解，這裡我們無法去詳述所有的數值分析理論與方法，所以在此就大概介紹一下兩種方法，牛頓法與隨機搜尋法。

目標函數:
，令，求x，這樣複雜的函數很難用手算，求得一個解析解。此時，可以透過牛頓法來求得的值。

牛頓法

簡單來說就是，在解的附近，利用線性近似來逼近，亦即。此時，就是函數的近似解。
為了得到更好的近似，就會透過迭代的方式，找出更靠近解的近似值。作法如下，
令
解出

變量:
x(n) = n次迭代後的根的近似解
N = 迭代次數
Pseudo code:
For n = 1~ N:

end
Python

# 目標函數
def func(c, x):
    return 200*c*math.exp(c*x)*(0.65 - 0.01*x) - 2*math.exp(c*x)-0.45

# 目標函數的一次導數
def der_func(c, x, h=0.01):
    return (func(c, x+h) - func(c, x)) / h

N = 100               # 迭代次數
initial_param = 0.0   # 初始值
final_param = 0.0     # 終值
diff = 10e5           # 差異
c=0.025               # 參數
cnt = 0               # 達標次數
error = []            # 迭代過程差異的紀錄

while (abs(diff) >= 10e-5) and (cnt <= N):
    f = func(c, initial_param)
    diff_f = der_func(c, initial_param)
    final_param = initial_param - (f/diff_f)
    diff = final_param - initial_param
    error.append(abs(diff))
    initial_param = final_param
    cnt += 1
    
print(final_param, cnt)

隨機搜尋法

這方法比起牛頓法更加簡單，就是從解空間中隨機抽取N個點，去看哪個點離極值最近。此法的準確度跟抽取的點數個數有關，抽樣次數越多，越可能找到極值，但相對的也越花時間。
Python

def func(c, x):
    return 200*c*math.exp(c*x)*(0.65 - 0.01*x) - 2*math.exp(c*x)-0.45

min_y = 10e5
N = 1000
threshold = 10e-5
c=0.025
final_x = 0

for i in range(N):
    approx_x = random.uniform(10, 30)
    approx_y = func(c, approx_x)
    
    if abs(approx_y) < min_y:
        min_y = abs(approx_y)
        final_x = approx_x
    
print(final_x, min_y)

這裡只介紹了兩種單變量的數值方法，關於多變量及更多的數值求解法可以參考數值方法的教科書。