Day 22 : 動態系統的模擬求解

第 11 屆 iThome 鐵人賽

DAY 22

AI & Data

連接數學與現實世界的橋樑 -- 數學建模系列第 22 篇

11th鐵人賽

spidyjames

2019-09-23 23:59:20

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分析動力系統模型有兩個方法，解析法企圖根據各種情況的模型推測即將發生甚麼，而模擬方法則通過模型的構造、運行，看到即將發生甚麼。

當我們遇到系統無法求得解析解，且需要定量解時，就只能選擇利用模擬的方式來求解。

離散時間模型

範例

兩支軍隊，紅軍(R)與藍軍(B)，進行交戰，傷亡是由於直接交火與砲兵射擊所導致。假設直接交火的傷亡率與敵軍步兵數成正比，由砲火造成的傷亡率與敵軍砲兵數和友軍密度都有關係。此時，紅軍聚集了5個師襲擊2個師的藍軍，藍軍具有防禦能力、武器精良的優勢，是問藍軍為贏得戰鬥該付出多大的努力。

提出問題
變量:
$R =$ 紅軍單位數(師)
$B =$ 藍軍單位數(師)
$D_R =$ 由直接交火導致的紅軍傷亡率(單位/小時)
$D_B =$ 由直接交火導致的藍軍傷亡率(單位/小時)
$I_R =$ 由間接交火導致的紅軍傷亡率(單位/小時)
$I_B =$ 由間接交火導致的藍軍傷亡率(單位/小時)
假設:
$D_R = a_1 B$
$D_B = a_2 R$
$I_R = b_1 RB$
$I_B = a_2 RB$
$R \ge 0 , B \ge 0$
$R(0) = 5, B(0) = 2$
$a_1, a_2, b_1, b_2$ 是正實數
$a_1 > a_2, b_1 > b_2$
目標:
確定條件使得在 $B \rightarrow 0$ 之前 $R \rightarrow 0$
選擇模型
利用離散時間動態模型，以模擬方法求解，
$\Delta x_1 = f_1(x_1, x_2)$
$\Delta x_2 = f_2(x_1, x_2)$
推導數學表達式
令
$x_1 = R, x_2 = B$
差分方程為
$\Delta x_1 = -a_1 x_1 - b_1 x_1 x_2$
$\Delta x_2 = -a_2 x_1 - b_2 x_1 x_2$
需要確認 $a_i, b_i$ 才能進行模擬，但手邊沒有任何信息，所以進行了一個有根據的推測，假設戰鬥持續5天，每天約12小時，這表示一支部隊大約在60小時的戰鬥中損失隊友。如果一支隊伍60小時內損失5%隊友，那剩餘的部分將會是 $(0.95)^60 = 0.05$ ，假設 $a_2 = 0.05$ ，而間接交火不如直接交火有效，所以假設 $b_ 2 = 0.005$ 。根據原本的假設，藍軍有更有效的武器，因此 $a_1 > a_2$ 且 $b_1 > b_2$ 。
令 $a_1 = \lambda a_2$ , $b_1 = \lambda b_2$ , $\lambda > 1$
分析的目的在於，確定最小的 $\lambda$ ，使得在 $x_2 \rightarrow 0$ 之前 $x_1 \rightarrow 0$ 成立。故差分方程為
$\Delta x_1 = -\lambda (0.05x)_2 - \lambda0.005 x_1 x_2$
$\Delta x_2 = -0.05 x_1- 0.005x_2$
模型求解
這時我們將給定多個 $\lambda$ 重複的執行求解過程，令 $\lambda = 1, 1.5, 2, 3, 5$ ，可以根據不同的 $\lambda$ 值所計算出來的解，來判定藍軍的戰績。
模型結果紀錄如下，

以 $\lambda = 1$ 為例，從圖的右上角開始看，隨時間增加，到最後曲線相交於 $x_1$ 軸，代表僅剩紅軍。

從上表來看，只有當優勢( $\lambda = 6$ )時，藍軍才贏得戰爭。
表達分析結果

從結果顯示，藍軍至少需要5.4 : 1的武器優勢才能戰勝5個師的紅軍。

連續時間模型

基本概念是透過逼近的方式
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%20%5Capprox%20%5Cfrac%7B%5CDelta%20x%7D%7B%5CDelta%20t%7D$
用離散時間模型(差分方程)來代替連續時間模型(微分程分)，然後就可以引入離散時間模型的做法。