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DAY 22
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連接數學與現實世界的橋樑 -- 數學建模系列 第 22

Day 22 : 動態系統的模擬求解

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分析動力系統模型有兩個方法,解析法企圖根據各種情況的模型推測即將發生甚麼,而模擬方法則通過模型的構造、運行,看到即將發生甚麼。

當我們遇到系統無法求得解析解,且需要定量解時,就只能選擇利用模擬的方式來求解。

離散時間模型

範例

兩支軍隊,紅軍(R)與藍軍(B),進行交戰,傷亡是由於直接交火與砲兵射擊所導致。假設直接交火的傷亡率與敵軍步兵數成正比,由砲火造成的傷亡率與敵軍砲兵數和友軍密度都有關係。此時,紅軍聚集了5個師襲擊2個師的藍軍,藍軍具有防禦能力、武器精良的優勢,是問藍軍為贏得戰鬥該付出多大的努力。

  1. 提出問題
    變量:
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=R%20%3D%20紅軍單位數(師)
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=B%20%3D%20藍軍單位數(師)
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=D_R%20%3D%20由直接交火導致的紅軍傷亡率(單位/小時)
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=D_B%20%3D%20由直接交火導致的藍軍傷亡率(單位/小時)
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=I_R%20%3D%20由間接交火導致的紅軍傷亡率(單位/小時)
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=I_B%20%3D%20由間接交火導致的藍軍傷亡率(單位/小時)
    假設:
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=D_R%20%3D%20a_1%20B
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=D_B%20%3D%20a_2%20R
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=I_R%20%3D%20b_1%20RB
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=I_B%20%3D%20a_2%20RB
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=R%20%5Cge%200%20%2C%20%20B%20%5Cge%200
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=R(0)%20%3D%205%2C%20%20B(0)%20%3D%202
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=a_1%2C%20a_2%2C%20b_1%2C%20b_2是正實數
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=a_1%20%3E%20a_2%2C%20b_1%20%3E%20b_2
    目標:
    確定條件使得在https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=B%20%5Crightarrow%200之前https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=R%20%5Crightarrow%200
  2. 選擇模型
    利用離散時間動態模型,以模擬方法求解,
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5CDelta%20x_1%20%3D%20f_1(x_1%2C%20x_2)
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5CDelta%20x_2%20%3D%20f_2(x_1%2C%20x_2)
  3. 推導數學表達式

    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_1%20%3D%20R%2C%20x_2%20%3D%20B
    差分方程為
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5CDelta%20x_1%20%3D%20-a_1%20x_1%20-%20b_1%20x_1%20x_2
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5CDelta%20x_2%20%3D%20-a_2%20x_1%20-%20b_2%20x_1%20x_2
    需要確認https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=a_i%2C%20b_i才能進行模擬,但手邊沒有任何信息,所以進行了一個有根據的推測,假設戰鬥持續5天,每天約12小時,這表示一支部隊大約在60小時的戰鬥中損失隊友。如果一支隊伍60小時內損失5%隊友,那剩餘的部分將會是https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=(0.95)%5E60%20%20%3D%200.05,假設https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=a_2%20%3D%200.05,而間接交火不如直接交火有效,所以假設https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=b_%202%20%3D%200.005。根據原本的假設,藍軍有更有效的武器,因此https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=a_1%20%3E%20a_2https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=b_1%20%3E%20b_2
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=a_1%20%3D%20%5Clambda%20a_2, https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=b_1%20%3D%20%5Clambda%20b_2, https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Clambda%20%3E%201
    分析的目的在於,確定最小的https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Clambda,使得在https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_2%20%5Crightarrow%200之前https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_1%20%5Crightarrow%20%200成立。故差分方程為
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5CDelta%20x_1%20%3D%20-%5Clambda%20(0.05x)_2%20-%20%5Clambda0.005%20x_1%20x_2
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5CDelta%20x_2%20%3D%20-0.05%20x_1-%200.005x_2
  4. 模型求解
    這時我們將給定多個https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Clambda重複的執行求解過程,令https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Clambda%20%3D%201%2C%201.5%2C%202%2C%203%2C%205,可以根據不同的https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Clambda值所計算出來的解,來判定藍軍的戰績。
    模型結果紀錄如下,
    https://ithelp.ithome.com.tw/upload/images/20190924/20119600IDnnOZ4VwE.jpg
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Clambda%20%3D%201為例,從圖的右上角開始看,隨時間增加,到最後曲線相交於https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_1軸,代表僅剩紅軍。
    https://ithelp.ithome.com.tw/upload/images/20190924/20119600jNvmCtScI1.jpg
    從上表來看,只有當優勢(https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Clambda%20%3D%206)時,藍軍才贏得戰爭。
  5. 表達分析結果
    https://ithelp.ithome.com.tw/upload/images/20190924/20119600mRzBwW7SCm.jpg
    從結果顯示,藍軍至少需要5.4 : 1的武器優勢才能戰勝5個師的紅軍。

連續時間模型

基本概念是透過逼近的方式
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%20%5Capprox%20%5Cfrac%7B%5CDelta%20x%7D%7B%5CDelta%20t%7D
用離散時間模型(差分方程)來代替連續時間模型(微分程分),然後就可以引入離散時間模型的做法。


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